一元函数求极限

专题讨论一元函数求极限极限是高等数学的基础，它贯穿了高等数学的始终。一元函数求极限是重中之重，且其求法也比较多。现将一元函数求极限的问题讨论如下。一、求一元函数极限的方法常见的求一元函数极限的方法有：1．利用极限的四则运算法则；2．利用等价无穷小代换；3．利用无穷小的性质；4．利用两个重要极限：0sinlim1xxx→=，1lim(1)xxex→∞+=；5．利用夹逼原理；6．利用单调有界准则；7．利用连续函数的性质；8．利用洛必达法则求未定式的极限（一元函数微分学的知识）；9．利用函数的麦克劳林公式（函数的幂级数展开式）（一元函数微分学的知识或者是级数的知识）；10．利用定积分的定义（定积分的知识）；11．利用级数收敛的必要条件与常数项级数的和（级数的知识）。二、一元函数极限的类型1．求“00”型极限（1）若分子分母可以分解因式（或分子（分母）有理化后可以分解因式），则先分解因式，约去公因式后再求极限。例1．求极限23414lim1xxxxxx→+++−−。解：234234114(1)(1)(1)(1)limlim11xxxxxxxxxxxx→→+++−−+−+−+−=−−221(1)[1(1)(1)(1)(1)]lim1xxxxxxxx→−++++++++=−221lim[1(1)(1)(1)(1)]1xxxxxx→=++++++++=0例2．求极限23(3)(4)lim431xxxxxx→−++−−+。解：222233(3)(4)(3)(4)(431limlim(43)(1)431xxxxxxxxxxxxxxx→→−+−++−+−=+−−−+−−+)22233(3)(4)(431)(3)(4)(431)limlim253(21)(3)xxxxxxxxxxxxxxxx→→−++−+−−++−+−==−++−+−23(4)(431)7(22)lim4(21)7xxxxxx→++−+−+==−+−=−。（2）若分子分母不能分解因式，则考虑用等价无穷小代换、洛必达法则、麦克劳林公式。○1常见的等价无穷小有：当()0xα→时，有()()sin()tan()arcsin()arctan()1ln(1())xxxxxxeααααααα−+∼∼∼∼∼∼xαα−∼a≠，()1()lnxaxa（10），[1()]()loglnxaxaαα+∼（10a≠），211cos()()2xxαα−∼，31tan()sin()()2xxxααα−∼，11()1(kkn)xxnαα+−∼（2nZ+≤∈，）。kR+∈○2常用的六个函数的麦克劳林公式：231...()2!3!!nxnxxxexon=++++++x，3572112sin...(1)()3!5!7!(21)!nnnxxxxxxon−−=−+−++−+−x，246221cos1...(1)()2!4!6!(2)!nnnxxxxxon+=−+−++−+x，23411ln(1)...(1)()234nnnxxxxxxoxn−++=−+−++−+，23(1)(1)(2)(1)(2)...(1)(1)1...()2!3!!nnnxxxxxonααααααααααα−−−−−−++=++++++x例3．求极限2013sincoslim(1cos)ln(1)xxxxxx→+++。解：2200113sincos3sincoslimlim(1cos)ln(1)(1cos)xxxxxxxxxxxx→→+++++等价无穷小代换0013sin11limlim(cos)(30)1cos22xxxxxxx→→=+=+3+=。例4．求极限2011limcossinxxxex→−−−−x。解：22000112limlimlimcossincossinsincosxxxxxxxxxexxexxex→→→−−−−−−+−等价无穷洛必达小代换法则x011limcossin1102xxexx→==+−+−洛必达法则1。例5．求极限sin0lim1cos(1cos)xxxeexx+→−−−。解：sinsinsin00(1limlim(1cos)1cos(1cos)2xxxxxxxeeeexxxx++−→→)−−−−−等价无穷小代换sinsin23000(sin)sinlim4limlim22xxxxxexxxexxx++→→→−−=i等价无穷小代换x+2320001sin1cos224lim4lim4lim33xxxxxxxxx++→→→−−==洛必达等价无穷小法则代换23x+。例6．求极限2230cos()cos()limxxxxexex−→−。解：22223322123300()()1()[1cos()cos()2!2!limlimxxxxxxxexeoxoxxexexx−−→→−+−−+−麦克劳林公式()]244344443000()()1142limlimlim4221xxxxxxxxxxeeoxeeeexx−−−→→→−+−−−==洛必达法则4=−。2．求“∞∞”型极限（1）直接利用结论：201220120,...lim,...,nnnmxmmnmaaxaxaxanmbbxbxbxbnm→∞⎧⎪++++⎪==⎨++++⎪⎪∞⎩（其中，和为正整数，为实常数，且nm01212,,,...,,,,...,naaaabbbm0nmab≠）（2）对函数进行恒等变形后再求极限（3）将其转化为“00”型极限（4）利用洛必达法则例7．求极限22lim21xxxx→−∞++−。解：222211limlim2212111xxxxxxx→−∞→−∞==++−−+−−−例8．求极限cot(5)limcsc(3)xxxπ→。解：00cot(5)sin(3)sin(33)sin(3)limlimlimlimcsc(3)tan(5)tan(55)tan(5)xxttxxxtttxxxtttππππππ→→→→−=+−===++033lim55ttt→−=−等价无穷小代换例9．求极限0ln(sin)limln(sin)xmxnx+→（其中为正实数）。,mn解：000cosln(sin)cossinsinsinlimlimlimlimcosln(sin)cossinsinsinxxxxmxmmxmmxnxmnxmxnxnxnnxmxnmxnnx+++→→→==洛必达法则0+→0lim1xmnxnmx+→=等价无穷小代换3．求“1”型极限∞（1）利用重要极限1lim(1)nnen→∞+=，10lim(1)xxxe→+=，1lim(1)xxex→∞+=的结论；（2）利用两边取对数及复合函数的极限法则，将其转化为“00”或“∞∞”进行计算；（3）先利用恒等式（，有）及复合函数的极限法则，将其转化为“0a∀lnaae=00”或“∞∞”进行计算；例10．求极限10lim(2sincos)xxxx→+.解：0001ln(2sincos)2sincos12sin1coslimlimlimlim0lim(2sincos)xxxxxxxxxxxxxxxxeee→→→++−−→+==等价无穷小代换0xx→−20022limlim202xxxxxxee→→−−e==等价无穷小代换例11．求极限11cos0arcsinlim()xxxx−→。解：20300arcsin1arcsinlimln()arcsin12limlim1cos1cos20arcsinlim()xxxxxxxxxxxxxxeeex→→→−−−−→==等价无穷小代换x2222222002200111()111111122limlim2lim2lim2lim3133xxxxxxxxxxxxeeee→→→→−−−−−−−−−==洛必达等价无穷法则小代换033xxe→=。例12．求极限2limtan()4nnnπ→∞⎡⎤+⎢⎥⎣⎦。解：因为2tan()14lim221limlntan()lim[tan()1]442limtan()4xxxxxxxxxxxeeexππππ→+∞→+∞→+∞+−++−→+∞⎡⎤+==⎢⎥⎣⎦等价无穷小代换2222222sec()4lim122limsec()2sec444xxxxxxeeeπππ→+∞→+∞−+−+==洛必达法则e=所以42limtan()4nnenπ→∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦。3．求“”、“”、“∞−∞0∞i0()∞−∞i”、、“”、“”型极限（将其转化为“000∞00”或“∞∞”进行计算）例13．求极限011lim()1xxxe→−−（“∞−∞”）。解：20001111lim()limlimlim1(1)2xxxxxxxxexexe01xxexex→→→→−−−−−−=−−等价无穷洛必达小代换法则x01lim22xxx→=等价无穷小代换。例14．求极限011limcot()sinxxxx→−（“()∞∞−∞i”）。解：300111sinsinlimcot()lim[cos]limsinsinsinxxxxxxxxxxxxxxx→→→−−−=ii等价无穷小代换02220011cos12limlim33xxxxxx→→−6=洛必达等价无穷法则小代换例15．求极限1ln0lim(1)xxxex→−−（“”）。00解：2000011lim(1)1ln(1)1limlimlimlnln110lim(1)xxxxxxxxxxeexxexexxxxxexexexeeee→→→→−−−−−−x−−−→−−==洛必达等价无穷法则小代换−0022limlim21xxxxxexee→→−=洛必达等价无穷法则小代换e。例16．求极限1lim()xxxxe→+∞+（“0∞”）。解：11ln()1limlimlimlim11lim()xxxxxxxxxxxeeexexexxxxxxeeeee→+∞→+∞→+∞→+∞++++++→+∞+==洛必达洛必达法则法则ee1lim1xxeee−→+∞+==。5．求无穷多项和的极限（1）若该和能求出，则先求和再求极限；（2）若该和不能求出，则考虑用夹逼准则、定积分的定义、常数项级数求和（先求其对于的幂级数的和函数，再求和函数在相应点处的函数值）进行计算。例17．求极限22212lim(...)nnnnn→∞+++（能求出和）。解：222221(1)1212...12lim(...)limlim2nnnnnnnnnnnn→∞→∞→∞+++++++===。例18．求极限2266612lim...2nnnnnnnn→∞⎛⎞+++⎜⎟+++⎝⎠2（不能求出和，用夹逼准则）解：记2266612...2nnTnnnnnn=++++++2，则222222626123...123...nnnTnnnn++++++++≤≤++，而2226262411(1)(21)(1)(2)123...116limlimlim6311nnnnnnnnnnnnnn→∞→∞→∞++++++++==+++1=，22266511(1)(21)(1)(2)123...116limlimlim6311nnnnnnnnnnnnnn→∞→∞→∞++++++++1===+++，由数列极限的夹逼准则，得1lim3nnT→∞=，即22666212lim...32nnnnnnnn→∞⎛⎞1+++=⎜⎟+++⎝⎠例19．求极限111lim...12nnnnn→∞⎛⎞+++⎜+++⎝⎠⎟（不能求出和，也不能用夹逼准则，应该用定积分的定义）解：因为1111111lim...lim...1212111nnnnnnnnnnn→∞→∞⎛⎞⎜⎟⎛⎞+++=+++⎜⎟⎜⎟+++⎝⎠⎜⎟+++⎝⎠，而函数11x+在其定义域内连续，所以函数11x+在定义域的任何闭区间上的定积分都存在，则由定积分的定义，得[]110011111lim...ln(1)ln2121111ndxxnnxnnn→∞⎛⎞⎜⎟+++==+=⎜⎟+⎜⎟+++⎝⎠∫故111lim...ln212nnnnn→∞⎛⎞+++=⎜⎟+++⎝⎠。例20．求极限2212ln(1)ln(1)ln(1)lim...1112nnnnnnnn→∞⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥+⎢