复合函数的偏导数和全微分--非常重要

第五节复合函数的偏导数和全微分证),()(tttu则);()(tttv一、链式法则定理　如果函数)(tu及)(tv都在点t可导，函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)](),([ttfz在对应点t可导，且其导数可用下列公式计算：dtdvvzdtduuzdtdz．，获得增量设tt由于函数),(vufz在点),(vu有连续偏导数,21vuvvzuuzz当0u，0v时，01，02tvtutvvztuuztz21当0t时，0u，0v,dtdutu,dtdvtv.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdzuvwtz以上公式中的导数称为全导数.dtdz上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：)].,(),,([yxyxfz如果),(yxu及),(yxv都在点),(yx具有对x和y的偏导数，且函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([yxyxfz在对应点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz.uvxzy链式法则如图示xzuzxuvz,xvyzuzyuvz.yv类似地再推广，设),(yxu、),(yxv、),(yxww都在点),(yx具有对x和y的偏导数，复合函数)],(),,(),,([yxwyxyxfz在对应点),(yx两个偏导数存在，且可用下列公式计算xwwzxvvzxuuzxz,ywwzyvvzyuuzyz.zwvuyx特殊地),,(yxufz),(yxu即],,),,([yxyxfz,xfxuufxz.yfyuufyz令,xv,yw其中,1xv,0xw,0yv.1yw把复合函数],),,([yxyxfz中的y看作不变而对x的偏导数把),,(yxufz中的u及y看作不变而对x的偏导数两者的区别区别类似],,),,([wvyxfz例1设vezusin，而xyu，yxv，求xz和yz.解xzuzxuvzxv1cossinveyveuu),cossin(vvyeuyzuzyuvzyv1cossinvexveuu).cossin(vvxeu例2设tuvzsin，而teu，tvcos，求全导数dtdz.解tzdtdvvzdtduuzdtdzttuvetcossinttetettcossincos.cos)sin(costttet例3设),(xyzzyxfw，f具有二阶连续偏导数，求xw和zxw2.解令,zyxu;xyzv记,),(1uvuff,),(212vuvuff同理有,2f,11f.22fxwxvvfxuuf;21fyzfzxw2)(21fyzfz;221zfyzfyzfzf1zvvfzuuf11;1211fxyfzf2zvvfzuuf22;2221fxyf于是zxw21211fxyf2fy)(2221fxyfyz.)(22221211fyfzxyfzxyf设函数),(vufz具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz;当),(yxu、),(yxv时，有dyyzdxxzdz.全微分形式不变形的实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、二、全微分形式不变性dxxvvzxuuzdyyzdxxzdzdyyvvzyuuzdyyudxxuuzdyyvdxxvvzduuz.dvvz例4已知02zxyeze，求xz和yz.解,0)2(zxyezed,02)(dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyzdyexedxeyedzzxyzxy)2()2(xz,2zxyeyeyz.2zxyexe1、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）三、小结设),,(xvufz，而)(xu，)(xv，则xfdxdvvfdxduufdxdz，试问dxdz与xf是否相同？为什么？思考题思考题解答不相同.等式左端的z是作为一个自变量x的函数，而等式右端最后一项f是作为xvu,,的三元函数，写出来为xxvuxdxduufdxdz),,(.),,(),,(xvuxxvuxfdxdvvf一、填空题:1、设xyyxzcoscos,则xz________________；yz________________.2、设22)23ln(yyxxz,则xz_______________；yz________________.3、设32sinttez,则dtdz________________.二、设uvuez,而xyvyxu,22，求yzxz,.练习题三、设)arctan(xyz,而xey,求dxdz.四、设),,(22xyeyxfz(其具中f有一阶连续偏导数),求yzxz,.五、设)(xyzxyxfu,(其具中f有一阶连续偏导数),求.,,zuyuxu六、设),(yxxfz,(其具中f有二阶连续偏导数),求22222,,yzyxzxz.七、设,)(22yxfyz其中为可导函数,验证:211yzyzyxzx.八、设,],),([其中yyxxz具有二阶导数,求.,2222yzxz一、1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos；2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx；3、.)43(1)41(3232ttt二、,])(22[222222yxxyeyyxyxyxxz)(22222])(22[yxxyeyxxyxyyz.练习题答案三、xxexxedxdz221)1(.四、.2,22121fxefyyzfyefxxzxyxy五、.),(),1(fxyzuxzxfyuyzyfxu六、,12222121122fyfyfxz,1)1(22221222fyfyfyxyxz.222422322fyxfyxyz八、,)1(121122xz222111221122)(yz.