2008—2017年全国初中数学竞赛试题含答案

整理文档很辛苦,赏杯茶钱您下走!

免费阅读已结束,点击下载阅读编辑剩下 ...

阅读已结束,您可以下载文档离线阅读编辑

资源描述

1“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分)1.已知实数x,y满足:4x4-2x2=3,y4+y2=3,则4x4+y4的值为()(A)7(B)1+132(C)7+132(D)52.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次,若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴有两个不同交点的概率是()(A)512(B)49(C)1736(D)123.有两个同心圆,大圆周上有4个不同的点,小圆周上有2个不同的点,则这6个点可确定的不同直线最少有()(A)6条(B)8条(C)10条(D)124.已知AB是半径为1的圆O的一条弦,且AB=a<1.以AB为一边在圆O内作正△ABC,点D为圆O上不同于点A的一点,且DB=AB=a,DC的延长线交圆O于点E,则AE的长为()(A)52a(B)1(C)32(D)a5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有()(A)2种(B)3种(C)4种(D)5种二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)6.对于实数u,v,定义一种运算“*”为:u*v=uv+v.若关于x的方程x*(a*x)=-14有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是_______.7.小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是_____分钟.8.如图,在△ABC中,AB=7,AC=11,点M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,MF∥AD,则FC的长为______.9.△ABC中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC,分别与AB,AC相交于点D,E,则DE的长为______.10.关于x,y的方程x2+y2=208(x-y)的所有正整数解为________.三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)11.在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴的正半轴分别交FMDCBA2于A,B两点,且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3.(1)用b表示k;(2)求△OAB面积的最小值.12.是否存在质数p,q,使得关于x的一元二次方程px2-qx+p=0有有理数根?13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC?证明你的结论.14.从1,2,…,9中任取n个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是全部),它们的和能被10整除,求n的最小值.3简答:一.选择题ACBBD;二.填空题6.a>0或a<-1;7.4;8.9;9.163;10.x=48,x=160,y=32;y=32.三.解答题:11.(1)k=2b-b22(b+3),b>2;(2)当b=2+10,k=-1时,△OAB面积的最小值为7+210;12.存在满足题设条件的质数p,q.当p=2,q=5时,方程2x2-5x+2=0的两根为x1=12,x2=2.它们都是有理数;13.存在满足条件的三角形.△ABC的边a=6,b=4,c=5,且∠A=2∠B,证明略.14.n的最小值是5,证明略.中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1.已知非零实数a,b满足2242(3)42ababa,则ab等于().(A)-1(B)0(C)1(D)2【答】C.解:由题设知a≥3,所以,题设的等式为22(3)0bab,于是32ab,,从而ab=1.2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于().4(A)512(B)512(C)1(D)2【答】A.解:因为△BOC∽△ABC,所以BOBCABAC,即11aaa,所以,210aa.由0a,解得152a.3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y的方程组322axbyxy,只有正数解的概率为().(A)121(B)92(C)185(D)3613【答】D.解:当20ab时,方程组无解.当02ba时,方程组的解为62,223.2bxabayab由已知,得,0232,0226baabab即,3,23,02baba或.3,23,02baba由a,b的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得2345612ab,,,,,,,共有5×2=10种情况;或1456ab,,,,共3种情况.又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为3613.4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,90B.动点P从点B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y.把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为().(第2题)5(A)10(B)16(C)18(D)32【答】B.解:根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故S△ABC=12×8×4=16.5.关于x,y的方程22229xxyy的整数解(x,y)的组数为().(A)2组(B)3组(C)4组(D)无穷多组【答】C.解:可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为22(229)0xyxy.由于该方程有整数根,则判别式≥0,且是完全平方数.由2224(229)7116yyy≥0,解得2y≤11616.577.于是2y01491611610988534显然,只有216y时,4是完全平方数,符合要求.当4y时,原方程为2430xx,此时121,3xx;当y=-4时,原方程为2430xx,此时341,3xx.所以,原方程的整数解为111,4;xy223,4;xy331,4;xy443,4.xy二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶3000km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、(第4题)图1图26后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶km.【答】3750.解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为5000k,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm,交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kxkykkykxk两式相加,得()()250003000kxykxyk,则237501150003000xy.7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则AHAB的值为.解:如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF.由题设知13ACAD,13ABAE,在△FHA和△EFA中,90EFAFHA,FAHEAF所以Rt△FHA∽Rt△EFA,AHAFAFAE.而AFAB,所以AHAB13.8.已知12345aaaaa,,,,是满足条件123459aaaaa的五个不同的整数,若b是关于x的方程123452009xaxaxaxaxa的整数根,则b的值为.【答】10.解:因为123452009bababababa,且12345aaaaa,,,,是五个不同的整数,所有12345bababababa,,,,也是五个不同的整数.(第7题)7又因为2009117741,所以1234541bababababa.由123459aaaaa,可得10b.9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于.【答】6027.解:如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25.故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且90ACB.作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由1452ECFACB,得CF=x,于是BF=20-x.由于EF∥AC,所以EFBFACBC,即201520xx,解得607x.所以60227CEx.10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是.【答】2.解:设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8x.于是报7的人心里想的数是12(8)4xx,报9的人心里想的数是16(4)12xx,报1的人心里想的数是20(12)8xx,报3的人心里想的数是4(8)4xx.所以4xx,解得2x.三、解答题(共4题,每题20分,共80分)(第9题)(第10题)811.已知抛物线2yx与动直线cxty)12(有公共点),(11yx,),(22yx,且3222221ttxx.(1)求实数t的取值范围;(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.解:(1)联立2yx与cxty)12(,消去y得二次方程2(21)0xtxc①有实数根1x,2x,则121221,xxtxxc.所以2221212121[()()]2cxxxxxx=221[(21)(23)]2ttt=21(364)2tt.②………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02xtxtt.③………………10分t的取值应满足2221223ttxx≥0,④且使方程③有实数根,即22(21)2(364)ttt=2287tt≥0,⑤解不等式④得t≤-3或t≥1,解不等式⑤得222≤t≤222.所以,t的取值范围为222≤t≤222.⑥………………15分(2)由②式知22131(364)(1)222cttt.由于231(1)22ct在222≤t≤222时是递增的,所以,当222t9时,2min3211162(21)2224c.………………20分12.已知正整数a满足3192191a,且2009a,求满足条件的所有可能的正整数a的和.解:由3192191a可得31921a.619232,且311(1)1(1)(1)(1)aaaaaaaa.………………5分因为11aa

1 / 68
下载文档,编辑使用

©2015-2020 m.777doc.com 三七文档.

备案号:鲁ICP备2024069028号-1 客服联系 QQ:2149211541

×
保存成功