专题：简单的线性规划(含答案)

第1页共7页高考复习专题：简单的线性规划专题要点简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。线性规划等内容已成为高考的热点，在复习时要给于重视,另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋于淡化,在复习时也应是注意。考查主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三是给出可行域的最优解，求目标函数（或者可行域）中参数的范围。多以选择填空题形式出现，不排除以解答题形式出现。考纲要求了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用。典例精析线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题。考点1：求给定可行域的最优解例1.（2012广东文）已知变量x、y满足约束条件1110xyxyx,则2zxy的最小值为（）A．3B．1C．5D．6解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点A时,取到最小值.联立11xyx,解得12xy,所以2zxy的最小值为5.例2.（2009天津）设变量x，y满足约束条件：3123xyxyxy.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A）6（B）7（C）8（D）23解析：画出不等式3123xyxyxy表示的可行域，如右图，让目标函数表示直线332zxy在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组323yxyx得)1,2(，所以734minz，故选择B.第2页共7页8642-2-4-15-10-5510152x-y=3x-y=1x+y=3qx=-2x3+7hx=2x-3gx=x+1fx=-x+3AB发散思维：若将目标函数改为求xyz的取值范围；或者改为求3xyz的取值范围；或者改为求22yxz的最大值；或者或者改为求221yxz的最大值。方法思路：解决线性规则问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找出目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决。练习1.（2012天津）设变量,xy满足约束条件01042022xyxyx,则目标函数32zxy的最小值为（）A．5B．4C．2D．3【解析】做出不等式对应的可行域如图,由yxz23得223zxy,由图象可知当直线223zxy经过点)2,0(C时,直线223zxy的截距最大,而此时yxz23最小为423yxz,选B.练习2．在约束条件0≤x≤1，0≤y≤2，2y－x≥1，下，x－12＋y2的最小值为________．解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到x－12＋y2可视为该区域内的点(x，y)与点(1,0)之间距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2y－x＝1的距离，即为|－1－1|5＝255.答案255练习3、（2011广东文、理数）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）A、3B、4C、3D、4第3页共7页解答：解：首先做出可行域，如图所示：z=•=，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点A时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为A（，2），所以z的最大值为4故选B练习4.（2011福建）已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]【分析】由于OA→·OM→＝－x＋y，实际上就是在线性约束条件x＋y≥2，x≤1，y≤2下，求线性目标函数z＝－x＋y的最大值和最小值．【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图)，又OA→·OM→＝－x＋y，取目标函数z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率为1的一组平行线．当它经过点C(1,1)时，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；当它经过点B(0,2)时，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2.∴z的取值范围是[0,2]，即OA→·OM→的取值范围是[0,2]，故选C.考点2：求给定可行域的面积例3．在平面直角坐标系中，不等式组43430yxyxx表示的平面区域的面积为（）A．23B．32C．34D．43答案c第4页共7页考点3：给出最优解求目标函数（或者可行域）中参数例4．(2012广州一模文数)在平面直角坐标系中，若不等式组20,20,xyxyxt≥≥≤表示的平面区域的面积为4，则实数t的值为A．1B．2C．3D．4答案B练习5.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组101010xyxaxy（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为A.-5B.1C.2D.3解析解析如图可得黄色即为满足010101yaxyxx的可行域，而与的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是23；当a=3时，面积恰好为2，故选D.练习6.设二元一次不等式组0142,080192yxyxyx，所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是c（A）[1,3](B)[2,10](C)[2,9](D)[10,9]练习7．设z＝x＋y，其中x、y满足x＋2y≥0x－y≤00≤y≤k，若z的最大值为6，则z的最小值为A．－3B．3C．2D．－2解析如图所示，作出不等式组所确定的可行域△OAB，目标函数的几何意义是直线x＋y－z＝0在y轴上的截距，由图可知，当目标函数经过点A时，取得最大值，由x－y＝0，y＝k，解得A(k，k)，故最大值为z＝k＋k＝2k，由题意，得2k＝6，故k＝3.当目标函数经过点B时，取得最小值，由x＋2y＝0，y＝3，解得B(－6,3)，故最小值为z＝－6＋3＝－3.故选A.答案A练习8.（2012课标文）已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则zxy的取值范围是（）A．(1-3,2)B．(0,2)C．(3-1,2)D．(0,1+3)第5页共7页【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法,是简单题.【解析】有题设知C(1+3,2),作出直线0l:0xy,平移直线0l,有图像知,直线:lzxy过B点时,maxz=2,过C时,minz=13,∴zxy取值范围为(1-3,2),故选A.练习9.（2012福建文）若直线2yx上存在点(,)xy满足约束条件30230xyxyxm,则实数m的最大值为（）A．-1B．1C．32D．2【答案】B【解析】30xy与2yx的交点为(1,2),所以只有1m才能符合条件,B正确.【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域,考查分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力.练习10.（2012福建理）若函数2xy图像上存在点(,)xy满足约束条件30230xyxyxm,则实数m的最大值为（）A．12B．1C．32D．2【答案】B【解析】30xy与2xy的交点为(1,2),所以只有1m才能符合条件,B正确.【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力考点四：实际应用与大题例5（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元解析：设甲、乙种两种产品各需生产x、y吨，可使利润z最大，故本题即已知约束条件001832133yxyxyx，求目标函数yxz35的最大值，可求出最优解为43yx，故271215maxz，故选择D。练习11.（2012四川理）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共第6页共7页x+y=1002x-y=50y=25OyxA可获得的最大利润是（）A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元[答案]C[解析]设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得利润为Z元/天,则由已知,得Z=300X+400Y且00122122YXYXYX画可行域如图所示,目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=400zx43这是随Z变化的一族平行直线解方程组12y2x12yx24y4x即A(4,4)280016001200maxZ[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).练习12.(2012广州二模文数)甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示：食物类型甲乙丙维生素C（单位/kg）300500300维生素D（单位/kg）700100300成本（元/kg）543某工厂欲将这三种食物混合成100kg的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为.xkgykgzkg、、（1）试以,xy表示混合食物的成本P;（2）若混合食物至少需含35000单位维生素C及40000单位维生素D，问,,xyz取什么值时，混合食物的成本最少？(本小题主要考查线性规划等知识,考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：依题意得100,543.xyzPxyz……………2分由100xyz，得100zxy，代入543Pxyz，得3002Pxy.……………3分(1)解:依题意知x、y、z要满足的条件为0,0,0,30050030035000,70010030040000.xyzxyzxyz………6分把100zxy代入方程组得0,0,1000,250,25.xyxyxyy……9分如图可行域（阴影部分）的一个顶点为A37.5,25.…10分让目标函数2300xyP在可行域上移动,由此可知3002Pxy在A37.5,25处取得最小值.………11分∴当37.5x(kg),25y(kg),37.5z(kg)时,混合食物的成本最少.………12分第7页共7页【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为:(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么?(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数;(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系;(4)作答——就应用题提出的问题作出回答.体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题