高等数学多元函数的概念

§7.2多元函数的概念一、平面区域1．邻域设是的一个点,δ是某一正数.与点距离小于δ的点的全体称为点的δ邻域,简称邻域,记为,即000(,)Pxy2R0P(,)Pxy0P0(,)UP22000(,){(,)()()}UPxyxxyy的几何意义为xOy平面上以点0(,)UP0P为中心,半径为δ的圆的内部所有点(,)Pxy的全体.0(,)UP中除去点0P后剩余的部分称为点的去心δ邻域.0P记为0(,)oUP0PEP如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P点为E的边界点E的边界点的全体，称为E的边界，记作E.2.区域设E是平面上的一个点集，P是平面上的任意一点.如果存在点P的某一邻域U(P)，使得则称P为E的内点。(),UPEEP如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.说明：内点一定是聚点；边界点可能是聚点；例}10|),{(22yxyx(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,}10|),{(22yxyx(0,0)是聚点但不属于集合．例如,}1|),{(22yxyx边界上的点都是聚点也都属于集合．如果点集E中的每一点都是内点，且E中任何两点可用全在E内的折线连结起来，则称E为开区域(简称区域).例如，}.41|),{(22yxyxxyo开区域连同它的边界一起称为闭区域.例如，}.41|),{(22yxyxxyo若区域E包含在某个圆内，则称E为有界区域；否则，称为无界区域.}41|),{(22yxyx有界闭区域；}0|),{(yxyx为无界开区域．xyo例如，二.多元函数的基本概念Df定义1设是一个是平面上的一个非空点集,对应法则,如果对于每个点Dyx，fz,都可由对应法则得到惟一的实数与之对应,则称是变量zyx，的二元函数,记为yxfz，rh例1设圆柱体的底面半径为,高为,则圆柱体体积hrV2.这是一个以hr,为自变量,V为因变量的二元函数.根据问题的实际意义,函数的定义域为00h,rh,rD值域为Dh,r,hrVVZ2例2求二元函数2222ln(1)(,)4xyfxyxy22221040xyxy的定义域.解由可得定义域为22{(,)14}Dxyxy例3已知函数2222(,)xyfxyxyxy,求(,)fxy.解2222222()()(,)()()xyxyxyfxyxyxyxyxy所以222(,)xyfxyxy.注:该方法主要是把右边的式子都凑成里面的两个量.f三.二元函数的极限定义2设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果当点无限趋于点时，函数无限趋于一个常数A，则称A为函数当时的极限.(,)zfxy000,Pxy,Pxy000,Pxy(,)fxy(,)fxy0PP记为0000(,)(,)lim(,)lim(,)xxxyxyyyfxyAfxyA或或0lim(,)ppfxyA例4.求(,)(3,0)sin()limxyxyy.解(,)(3,0)(,)(3,0)sin()sin()limlim3xyxyxyxyxyxy根据二重极限的定义，需要特别注意以下两点：(1)二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于A.(2)如果当以两种不同方式趋于时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在.P0PP0P例5证明不存在．26300limyxyxyx证取,3kxy26300limyxyxyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：（1）令),(yxP沿kxy趋向于),(000yxP，若极限值与k有关，则可断言极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．四.二元函数的连续性定义3设二元函数在点的某一邻域内有定义，如果则称在点处连续,并称点为连续点.如果函数在点处不连续，则称函数在处间断,称点为间断点.(,)zfxy00,xy0000(,)(,)lim(,)(,)xyxyfxyfxy(,)zfxy00,xy00,xy(,)zfxy00,xy(,)zfxy00,xy00,xy例6讨论点是否为函数的连续点.222222221()sin0(,)00xyxyxyfxyxy，，0,0O解由于222200001lim(,)lim()sin0xxyyfxyxyxy且(0,0)0f,故(,)fxy在0,0处连续.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.由x和y的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数.例如，都是二元初等函数.一切二元初等函数在其定义区域内是连续的.22222,1xyxxyey例7.求2201lim.1xxyyexy解因初等函数在(0,1)处连续,故有22(,)1xyefxyxy02220111lim.32012xxyyeexy例8求(,)(0,0)11limxyxyxy解(,)(0,0)(,)(0,0)11(11)(11)limlim(11)xyxyxyxyxyxyxyxy(,)(0,0)11lim211xyxy二元函数的性质:性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.性质2（有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.性质3（介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.练习题一、填空题:1、若yxxyyxyxftan),(22,则),(tytxf=____.2、若xyyxyxf2),(22,则)3,2(f__________;),1(xyf________________.3、若)0()(22yyyxxyf,则)(xf________.4、若22),(yxxyyxf,则),(yxf_________.函数)1ln(4222yxyxz的定义域是__________.6、函数yxz的定义域是______________.7、函数xyzarcsin的定义域是_______________.8、函数xyxyz2222的间断点是________________.二、求下列各极限:1、xyxyyx42lim00；2、xxyyxsinlim00；3、22222200)()cos(1limyxyxyxyx.三、证明：0lim2200yxxyyx.四、证明极限yxxyyx11lim00不存在.练习题答案一、1、),(2yxft；2、1213,),(yxf；3、xx21；4、yyx112；5、xyyxyx4,10),(222；6、yxyxyx2,0,0),(；7、xyxxyx,0),(xyxxyx,0),(；8、02),(2xyyx.二、1、41；2、0；3、.