《立方根》典型例题

1/4《立方根》典型例题例1求下列各数的立方根：（1）27，（2）－125，（3）0.064，（4）0，（5）.3438解：（1）2733，∴27的立方根是3，记作.3273（2）125)5(3，∴－125的立方根是－5，记作.51253（3）064.04.03，∴0.064的立方根是0.4，记作4.0064.03．（4）003，∴0的立方根是0，记作.003（5）3438)72(3，∴3438的立方根是72，记作.7234383例2求下列各式中的x：（1）012583x（2）343143x；（3）064252x；（4）02713x．分析：将方程整理转为求立方根或平方根的问题.解答：（1）∵012583x，∴12583x，即81253x，∴38125x，即25x；（2）∵343143x，∴334314x，即714x，∴2x；（3）∵064252x，∴64252x，∴6425x，即85x；（4）∵02713x，∴2713x，∴3271x，即31x．说明：求解过程中注意立方根和平方根的区别，最终结果解的个数不同.例3圆柱形水池的深是1.4m，要使这个水池能蓄水80吨（每立方米水有1吨），池的底面半径应当是多少米？（精确到0.1米）．分析：圆柱的体积hrV2，由于蓄水80吨，每吨水的体积是1立方米，因此水池的体积至少应为80立方米．2/4解：4.1,80,2hVhrV，∴3.4,4.114.3802rr（米）（负值舍去）．答：水池底面半径为4.3米．例4阅读下面语句：①1的k3次方（k是整数）的立方根是1．②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0．③如果0a，那么a的立方根的符号与a的符号相同．④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数．⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数．在上面语句中，正确的有（）A．1句B．2句C．3句D．4句分析：当1k时，3331)1(k，而当2k时，11)1()1(33633k，可见①不正确；1)1(3，这说明一个数的立方根等于它本身时，这个数有可能等于1，所以②不正确；当0a时，3a是正数，当0a时，3a是负数，所以③是正确的；04.02.0,2.004.0，这个例子足以说明一个正数的算术平方根未必小于原来的数，3001.0的情况与此相同；课本中写到：“如果0a，那么33aa”，这个关系式对0a时也是正确的，只不过相当于等式两边调换了位置，所以⑤是正确的．解答：B说明：考查立方根的定义及性质．例5设827x，则2x，3x，32x分别等于（）A．89,23,827B．89,23,827C．49,23,827D．49,23,827分析：64729)827(2，3/4∵,64729)827(2∴827)827(2．∵827)23(2，∴233x．∵647292x，64729)49(3，∴4932x．解答：C说明：考查平方根、立方根的求法．例6有下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0．其中错误的是A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④分析：一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数；0的立方根是0．立方根等于本身的数有0，1和1．所以①、②、④都是错的，只有③正确．解答：B说明：立方根性质与平方根性质既有联系又有区别，不能混淆．例7下列语句正确的是（）A．64的立方根是2B．-3是27的负立方根C．216125的立方根是65D．2)1(的立方根是1分析：A中64=8，它的立方根是2，对；B中27只有一个正的立方根，没有负的立方根，错；C中正数的立方根应只有一个，错；D中2)1(=1，它的立方根是1，而不是1．解答：A说明：注意立方根意义例8下列语句对不对？为什么？（1）0.027的立方根是0.3．（2）3a不可能是负数．4/4（3）如果a是b的立方根，那么0ab．（4）一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1．分析：立方根的定义是解题的基础，一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．因为开立方与立方互为逆运算，我们知道正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是零．也就是说，一个数的立方根是惟一的，这是与平方根的最主要的区别．从这些出发考虑问题，上述题不难解答．解答：（1）正确．因为027.0)3.0(3，所以0.027的立方根是0.3．（2）不正确．当a是负数时，就有一个负的立方根，即3a就是负数．（3）正确．如果b是正数，它的立方根a也是正数；如果b是负数，它的立方根a也是负数；如果b是零，它的立方根是零，所以0ab．（4）不正确．一个正数的平方根均有两个，而立方根只有一个，通常不可能相等．而平方根只有一个的数是0，0的立方根也恰是零．因此一个数的平方根与立方根相同，这个数只能是零．说明：立方根与平方根有相似之处，但也有区别，主要是：一个数的立方根是惟一的，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，不注意这一点，往往容易出错．例9一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，它是由三层完全相同的小正方体组成的，体积为216立方厘米，求组成它的每个小正方体的棱长．分析：立方体的体积等于棱长的立方，所以这是一个求立方根的问题．解答1：∵21663，∴62163，即这种玩具的棱长为6厘米，所以每个小正方体的棱长为236（厘米）解答2：设小正方体的棱长为a厘米，则玩具的棱长为a3厘米，由题意得216)3(3a，∴216273a，83a，2a（厘米）．解答3：设小正方体的棱长为a厘米．则玩具的棱长为a3厘米，由题意得216)3(3a，∴621633a，∴2a（厘米）．