函数奇偶性经典总结

1/14xxxf1)(1)(2xxxfxxf1)(函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1．偶函数：一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个x，都有xfxf，0)()(xfxf，那么函数xf就叫做偶函数。2.奇函数：一般地，如果对于函数xf的定义域内任一个x，都有xfxf，0)()(xfxf，那么函数xf就叫做奇函数。注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断xfxf之一是否成立。（2）在判断xf与xf的关系时，只需验证0xfxf及)()(xfxf=1是否成立即可来确定函数的奇偶性。题型一判断下列函数的奇偶性。⑴xxxf2)(，（2）xxxf3)(（3）RxxfxfxG,(4)(5)xxxfcos)((6)xxxfsin)((7)xxxf22)(，(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。（2）常见的奇函数有：xxf)(，3)(xxf，xxfsin)(，（3）常见的奇函数有：2)(xxf，xxf)(，xxfcos)(（4）若xf、xg都是偶函数,那么在xf与xg的公共定义域上，xf+xg为偶函数，xfxg为偶函数。当xg≠0时，)()(xgxf为偶函数。（5）若xf，xg都是奇函数，那么在xf与xg的公共定义域上，xf+xg是奇函数，xfxg是奇函数，xgxf是偶函数，当xg≠0时，)()(xgxf是偶函数。2/14（6）常函数为常数ccxf是偶函数，fx0既是偶函数又是奇函数。（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数xgfxF；若xg为偶函数,fx为奇（偶）函数，则xF都为偶函数；若xg为奇函数，xf为奇函数,则xF为奇函数;若xg为奇函数，xf为偶函数,则xF为偶函数.题型二三次函数奇偶性的判断已知函数dcxbxaxxf23)(，证明：（1）当0ca时，)(xf是偶函数（2）当0db时，)(xf是奇函数提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如cbxaxxf2)(，当0b，)(xf是偶函数；当0ca，)(xf是奇函数。题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1函数23fxaxbxab是偶函数，定义域为12aa，，则ab31．2设2()2fxaxbx是定义在1,2a上的偶函数，则()fx的值域是10,2．3已知))(1(sin)(axxxxf是奇函数，则a的值为14已知)ln(sin)(2axxxxf是偶函数，则a的值为1提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(xfxfxfxf。（2）因为是填空题，所以还可以用)1()1(),1()1(ffff。（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。题型四利用函数奇偶性的对称1下列函数中为偶函数的是（B）3/14A．2sinyxxxyB．2cosyxxC．lnyxD．2xy2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是AA．xexyB．xxy1C．xxy212D．21xy3下列函数中，为偶函数的是（C）A．1yxB．1yxC．4yxD．yx4函数1()fxxx的图像关于（C）A．y轴对称B．直线xy对称C．坐标原点对称D．直线xy对称5已知函数)1(xf是R上的奇函数，且4)1(f，则)3(f=-46已知函数)2(xf是R上的偶函数，则3)3(f，则)7(f=-3提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(xfxfxfxf。(2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。(3)在原点有定义的奇函数必有0)0(f。（4）已知函数)(txf是R上的奇函数，则)(xf关于点)0,(t对称。(5)已知)(txf是偶函数，则)(xf关于直线tx对称。题型五奇偶函数中的分段问题1设()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，()22xfxxb（b为常数），则(1)f-32已知fx是奇函数，且当0x时，2fxxx，求0x时，fx的表达式。2)(xxxf3已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，232)(xxxf，则)3(f=-454已知fx是偶函数，当0x时，xxxf2)(2，求)4(f245设偶函数()fx满足)0(42)(xxfx，则20xfx={|04}xxx或提示：（1）已知奇函数)(xf，当0x，)()(xgxf，则当0x时，)()(xgxf。4/14（2）已知偶函数)(xf，当0x，)()(xgxf，则当0x时，)()(xgxf。类型六奇函数的特殊和性质1已知函数2)(3axxf，求)2()2(ff的和为42已知753()6fxxbxcxdx，且(3)12f，则(3)f=03已知8)(35bxaxxxf，10)2(f，)2(f=_-26__4已知函数()fx＝2211xxx，若32)(af，则)(af(43)提示：已知)(xf满足，txgxf)()(，其中)(xg是奇函数，则有tafaf2)()(。题型七函数奇偶性的结合性质1设()fx、()gx是R上的函数，且()fx是奇函数，()gx是偶函数，则结论正确的是A.()fx()gx是偶函数B.|()fx|()gx是奇函数C.()fx|()gx|是奇函数D.|()fx()gx|是奇函数2设函数()fx和()gx分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．)()(xgxf是偶函B．)()(xgxf是奇函数C．)()(xgxf|是偶函数D．)()(xgxf|是奇函数3设函数()fx与()gx的定义域是xR且1x,()fx是偶函数,()gx是奇函数,且1()()1fxgxx,求()fx和()gx的解析式,21()1fxx，2()1xgxx。提示：（1）已知)(xf是奇函数，则)(xf是偶函数。（2）已知)(xh是R上的函数，且)(xf也是R上的偶函数和()gx也是R上的奇函数，满足)()()(xgxfxh，则有2)()()(xhxhxg，2)()()(xhxhxf。题型八函数的奇偶性与单调性5/141下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的是（）A．1yxB．xyeC．21yxD．lgyx2下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A）cos2yx，xR（B）xy2log，xR且x≠0（C）2xxeey，xR（D）31yx，xR3设()sinfxxx，则()fx（B）A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C有零点的减函数D没有零点的奇函数4设奇函数()fx在(0)，上为增函数，且(1)0f，则不等式()()0fxfxx的解集为（(10)(01)，，）5已知偶函数fx在0,单调递减，20f，若10fx，则x的取值范围是)3,1(.6已知偶函数()fx在区间0,)单调增加，则满足(21)fx＜1()3f的x取值范围是)32,31(提示：（1）已知)(xf是奇函数，且在)0,(上是增（减）函数，则在),0(上也是增（减）函数。（2）已知)(xf是偶函数，且在)0,(上是增（减）函数，则在),0(上也是减（增）函数。（3）已知)(xf是偶函数，必有)()()(xfxfxf。题型九函数的奇偶性的综合问题1已知函数fx,当,xyR时，恒)()()(yfxfyxf，且0,0xfx时，又112f（1）求证：fx是奇函数；（2）求证：)(xf在R上是减函数；（3）求)(xf在区间2,6上的最值。最大值1，最小值-3。2设上递增，上是偶函数，在区间在0R)(xf，且有3221222aafaaf，求a的取值范围。),32(6/14练习题一、判断下列函数的奇偶性（1）1)(2xxxf（2）1)(2xxf（3）)1,1(,111xxxxxf（4）2)(2xxxf（5）Rxxf,1)(（5）]2,2[,0)(xxf（6）xexfln)((7)xxxf3)((8)xxxftansin)(（9）1)(2xxf，(10)1)(xxf，(11)xxeexf)(，(12)xxxfsin)((13)xxxf2)(，(14)xxxfcos)(2，(15)xxf2)(，(16))1ln()(2xxxxf,(17)21()ln(1||)1fxxx二、利用函数的奇偶性求参数的值1若函数2(1)23fxmxmx是偶函数，求m的值。02若函数4)1()(23cbxxaxxf是奇函数，求5)(2ca的值。43函数xxbaxxf23)1()(是奇函数，定义域为),1(ab，则2)2(ba的值是9．4若1()21xfxa是奇函数，则a125若函数axxxf2)(为偶函数，则实数a___0_____.6设函数))(()(Rxaeexxfxx是偶函数，则实数a_______-1________7若函数)2(log)(22axxxfa是奇函数，则a=22.8若(2)()()xxmfxx为奇函数,则实数m__-2____.9若函数)ln()(2xaxxxf为偶函数，则a110若axexfx1ln3是偶函数，则a____32________.三、函数奇偶性定义的应用1函数y=22log2xyx的图像A（A）关于原点对称（B）关于直线yx对称（C）关于y轴对称（D）关于直线yx对称7/142已知函数1fx2x，xR则（B）A.fxfxB.fx为偶函数C.0fxfxD.fx不是偶函数3若fx是偶函数，则kfx（k为常数）(A)A.是偶函数B.不是偶函数C.是常数函数D.无法确定是不是偶函数4函数fx=0,1.0,1xx则fx为（B）A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数5已知fx为奇函数，则fxx为（A）A奇函数B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数6已知点1,3是偶函数fx图像上一点，则1f等（B）A.-3B.3C.1D.-17若点1,3在奇函数yfx的图象上，则1f等于（D）A.0B.-1C.3D.-38已知2)(xxfy是奇函数,且1)1(f.若2)()(xfxg,则)1(g____-1___.9设)(xf是定义在R上的一个函数，则函数)()()(xfxfxF，在R上一定是（A）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数10设()fx是R上的奇函数，且)(xfy的图象关于直线21x对称，则)5()4()3()2()1(fffff011已知偶函数()fx的图像关于直线