数字特征与直方图9

样本的数字特征与频率分布直方图平罗中学石占军90100110120130140分数频率0.450.050.151、某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图，若130～140分数段的人数为90人；则90～100分数段的人数为：；810（2003,安徽）一、复习回顾2、一个容量为20的样本数据.分组后.组距与频数如下：(0,20]2;(20,30]3;(30,40]4;(40,50]5;(50,60]4;(60,70]2.则样本在(－∞,50]上的频率为：，7/10（2002,江西）240027003000330036003900X体重y0.0013、观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重(2700,3000)的频率为：；0.3思考1：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O取最高矩形下端中点的横坐标2.25作为众数.二、新知学习问题：由频率分布直方图如何求出样本数据中的众数、中位数、平均数.（教师指导，结合课本P72-73说明）例如在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估计总体的中位数是什么？月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01，设小矩形的宽为Ｘ，则：0.5Ｘ＝0.01，得Ｘ＝0.02，所以中位数是２+0.02＝2.02.思考2:在频率分布直方图中,每个小矩形的面积表示什么?中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？取矩形面积的一半对应的x作为中位数.思考3：平均数是频率分布直方图的“重心”，在下面的频率分布直方图中，各个小矩形的重心在哪里？从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少？0.25,0.75,1.25,1.75,2.25,2.75,3.25,3.75,4.25.月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.每个小矩形底边中点的横坐标与对应频率之积累计相加，就是总体的平均数思考4：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973,这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差,你能解释一下原因吗？在制作频率分布直方图“丢失”了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估计值与数据分组有关.注:在只有样本频率分布直方图的情况下，才可按上述方法估计众数、中位数和平均数,并由此估计总体特征.平均数是频率分布直方图的“重心”.是直方图的平衡点.由直方图求样本数据的平均数，可结合加权平均数公式:x=x1f1+x2f2+……xkfk1.:,.h例下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表单位试估计该校学生的日平均睡眠时间110002029580606588370377.5,833033577170177560505566计合率频数人睡眠时间.,...,...,.,...,三、应用举例.,.,100:值近似地表示可以用各组区间的组中是一个范围时间只由于每组中的个体睡眠计算其总睡眠时间必须就时间眠名学生的平均睡要确这分析.......h7392758625837757332571775652561总睡眠时间约为解法..h397睡眠时间约为估计该校学生的日平均答..h397故平均睡眠时间约为..............h3970207580602583707573302571707560502562积的和求组中值与对应频率之解法.,,,,,,,nnnnpxpxpxpppxxx22112121则其平均数为的频率为若取值为一般地高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．(1)求这次测验全班平均分(精确到0.01)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？[思路探索]根据各种数据的定义及意义解决．【例2】(2)∵男同学的中位数是75，∴至少有14人得分不超过75分．又∵女同学的中位数是80，∴至少有11人得分不超过80分．∴全班至少有25人得分低于80分(含80分)．(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和低的相差较大．规律方法1.中位数的求法(1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间那数．(2)当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个数的平均数．2．深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用．已知一组数据：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：【例3】分组频数频率[120.5,122.5)[122.5,124.5)[124.5,126.5)[126.5,128.5)[128.5,130.5]合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．审题指导先由频数分别求出各组的频率，列出频率分布表，画出频率分布直方图，再由频率分布直方图中数字特征的意义作答．[规范解答](1)分组频数频率[120.5,122.5)20.1[122.5,124.5)30.15[124.5,126.5)80.4[126.5,128.5)40.2[128.5,130.5]30.15合计201(2)(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.又∵前两个小矩形的频率和为0.25.∴设第三个小矩形底边的一部分长为x.则x×0.2＝0.25，得x＝1.25.∴中位数为124.5＋1.25＝125.75.事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，平均数的精确值为x＝125.75.(12分)【题后反思】利用频率分布直方图求数字特征；①众数是最高的矩形的底边的中点．②中位数左右两侧直方图的面积相等．③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标．④利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．由样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数的方法：（1）众数：最高矩形下端中点的横坐标.（2）中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标.（3）平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.四、归纳小结.%5%10,%15,%25%,20,%15,%105000040000400003500035000300003000025000250002000020000000150001500010.1均年收入试估计该单位职工的平和别为间的职工所占的比例分元之到及到、到、到、到、到、到某单位年收入在五、巩固练习2.”八.一”前夕,某中学举行国防知识竞赛:满分为100分,80分以上为优秀,现将高一的两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小组的频率分别是0.3,0.4,0.15,0.1,0.05求：（1）成绩的众数、中位数；（2）平均成绩506070809010000.0050.0100.0150.030.043.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数．(2)高一参赛学生的平均成绩．某班4个小组的人数为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．[思路分析]从中位数的定义入手进行讨论，根据不同情况分类求解．4.方法点评当在数据中有未知数x求其中位数时，因x的取值不同，所以数据由大到小(或由小到大)的排列顺序不同，故中位数也不同，这就是本题分类讨论的原因．