高中数学选修4-4模块训练题

高中数学选修4-4模块训练题一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．若直线l的参数方程为x＝1＋3t，y＝2－4t(t为参数)，则直线l的倾斜角的余弦值为()A．－45B．－35C.35D.452.椭圆x29＋y24＝1的点到直线x＋2y－4＝0的距离的最小值为()A.55B.5C.655D．03.在极坐标系中，点A的极坐标是(1，π)，点P是曲线C：ρ＝2sinθ上的动点，则|PA|的最小值是()A．0B.2C.2＋1D.2－14．直线x＝sinθ＋tsin15°，y＝cosθ－tsin75°(t为参数，θ是常数)的倾斜角是()A．105°B．75°C．15°D．165°5．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()、A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝16．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B．214C.2D．227．已知点P的极坐标为(π，π)，过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为()A．ρ＝πB．ρ＝cosθC．ρ＝πcosθD．ρ＝－πcosθ8．已知直线l：x＝2＋t，y＝－2－t(t为参数)与圆C：x＝2cosθ＋1，y＝2sinθ(0≤θ≤2π)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是()A.π4，(－1,0)B.π4，(－1,0)C.3π4，(1,0)D.3π4，(－1,0)9．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A，B两点，则|AB|＝()A．23B.3C．2D．110．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcosθ＋ρsinθ＝1围成的图形的面积为()A.14B.3－34C.2－34D.13二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分)11．在极坐标系中，点2，π6到直线ρsinθ＝2的距离等于________．12．已知曲线C1的参数方程是x＝t，y＝3t3(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.则C1与C2交点的直角坐标为________．13．已知直线l的参数方程为x＝2＋t，y＝3＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0,0≤θ2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.14．在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________．三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα，0≤α≤2π，M是C1上的动点，P点满足OP―→＝2OM―→，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.16．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈0，π2.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．17．(本小题满分12分)已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．.18．(本小题满分14分)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．高中数学选修4-4模块训练题答案1解析：选B由l的参数方程可得l的普通方程为4x＋3y－10＝0，设l的倾斜角为θ，则tanθ＝－43.由1cos2θ＝sin2θ＋cos2θcos2θ＝tan2θ＋1，得cos2θ＝925.又π2θπ，∴cosθ＝－35.2.柱坐标2，π3，1对应的点的直角坐标是()A．(3，－1,1)B．(3，1,1)C．(1，3，1)D．(－1，3，1)解析：选C由直角坐标与柱坐标之间的变换公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，z＝z，可得x＝1，y＝3，z＝1.3．在极坐标系中，点A的极坐标是(1，π)，点P是曲线C：ρ＝2sinθ上的动点，则|PA|的最小值是()A．0\B.2C.2＋1D.2－1解析：选DA的直角坐标为(－1,0)，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，|AC|＝2，则|PA|min＝2－1.4．直线x＝sinθ＋tsin15°，y＝cosθ－tsin75°(t为参数，θ是常数)的倾斜角是()A．105°B．75°C．15°D．165°解析：选A参数方程x＝sinθ＋tsin15°，y＝cosθ－tsin75°⇒x＝sinθ＋tcos75°，y＝cosθ－tsin75°.消去参数t，得y－cosθ＝－tan75°(x－sinθ)，∴k＝－tan75°＝tan(180°－75°)＝tan105°.故直线的倾斜角是105°.5．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1解析：选B由ρ＝2cosθ，可得圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.6．(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是x＝t＋1，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为()A.14B．214C.2D．22解析：选D由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心到直线l的距离d＝|2－0－4|2＝2，直线l被圆C截得的弦长为222－22＝22.7．已知点P的极坐标为(π，π)，过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为()A．ρ＝πB．ρ＝cosθC．ρ＝πcosθD．ρ＝－πcosθ解析：选D设M(ρ，θ)为所求直线上任意一点，由图形知OMcos∠POM＝π，∴ρcos(π－θ)＝π.∴ρ＝－πcosθ.8．已知直线l：x＝2＋t，y＝－2－t(t为参数)与圆C：x＝2cosθ＋1，y＝2sinθ(0≤θ≤2π)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是()A.π4，(－1,0)B.π4，(－1,0)\C.3π4，(1,0)D.3π4，(－1,0)解析：选C因为直线l的普通方程为y＝－x，所以其斜率是－1，倾斜角是3π4.将圆的参数方程化为普通方程得(x－1)2＋y2＝4，所以圆心C的直角坐标是(1,0)，故选C.9．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A，B两点，则|AB|＝()A．23B.3C．2D．1解析：选A曲线ρ＝4cosθ可转化为(x－2)2＋y2＝4，则圆心(2,0)到直线x＝3的距离是1，所以|AB|＝24－1＝23.10．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcosθ＋ρsinθ＝1围成的图形的面积为()A.14B.3－34C.2－34D.13解析：选B三条直线的直角坐标方程依次为y＝0，y＝3x，x＋y＝1，如图．围成的图形为△OPQ，可得S△OPQ＝12|OQ|·|yP|＝12×1×33＋1＝3－34.二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分)11．(北京高考)在极坐标系中，点2，π6到直线ρsinθ＝2的距离等于________．解析：由题意知，点2，π6的直角坐标是(3，1)，直线ρsinθ＝2的直角坐标方程是y＝2，所以所求的点到直线的距离为1.12．(湖北高考)已知曲线C1的参数方程是x＝t，y＝3t3(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.则C1与C2交点的直角坐标为____答案：(3，1)解析：由题意，得x＝ty＝3t3⇒x2＝3y2(x≥0，y≥0)，曲线C2的普通方程为x2＋y2＝4，联立x2＋y2＝4x2＝3y2，得x＝3，y＝1，即C1与C2的交点坐标为(3，1)．13．(重庆高考)已知直线l的参数方程为x＝2＋t，y＝3＋t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0,0≤θ2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝__答案：5解析：依题意，直线l与曲线C的直角坐标方程分别是x－y＋1＝0，y2＝4x.由x－y＋1＝0，y2＝4x得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，则y＝2，因此直线l与曲线C的公共点的直角坐标是(1,2)，该点与原点的距离为12＋22＝5，即直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝5.14．(广东高考)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为_答案：(1,2)解析：由2ρcos2θ＝sinθ⇒2ρ2cos2θ＝ρsinθ⇒2x2＝y，又由ρcosθ＝1⇒x＝1，由2x2＝y，x＝1⇒x＝1，y＝2，故曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2)．三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα，0≤α≤2π，M是C1上的动点，P点满足OP―→＝2OM―→，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解：(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2.因为M点在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα，即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα.(α为参数)(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ1＝8sinθ.射线θ＝π3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sinπ3，射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.16．(本小题满分12分)(新课标卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈0，π2.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D