高一数学培优-恒成立问题

1奥美高中2018级高一数学培优讲义——不等式恒成立问题一.不等式恒成立问题的处理方法1.利用根的判别式设02acbxaxxf（1）0xf在Rx上恒成立0a且0；（2）0xf在Rx上恒成立0a且0．例1.对于任意实数x，不等式042222xaxa恒成立，则实数a的取值范围是________.2.转换求函数的最值（1）若不等式Axf在区间D上恒成立在区间D上minfxA（注：若()fx的最小值不存在,则()0fx恒成立()fx的下界大于0）（2）若不等式Bxf在区间D上恒成立在区间D上maxfxB（注：若()fx的最大值不存在,则()0fx恒成立()fx的上界小于0）例2.设222axxxf,当,1x时，都有axf恒成立，求实数a的取值范围.例3.R上的函数xf既是奇函数，又是减函数，且当2,0时，有022sin2cos2afaf恒成立，求实数a的取值范围.3.分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为gfx（或gfx）恒成立的形式；（2）求fx在xD上的最大（或最小）值；（3）解不等式max()gfx(或mingfx)，得的取值范围.2例4.当(1,2)x时，不等式042axx恒成立，求实数a的取值范围.例5.已知,1x时，不等式21240xxaa恒成立，求实数a的取值范围.4.主参换位法在不等式的恒成立问题中，有一类题型是题中的参数如a、m、k等的范围是已知的，而题要求的反而是变量x的范围.这类题型中，由于已知范围的变量是以前我们所接触的参数，因而题中的函数结构也就发生了改变，此时函数是以参数为自变量的函数.一般来说，我们在观察这类恒成立问题时，哪个变量的范围是已知的，哪个就是该函数的自变量.例6.若不等式0224xxa对于]3,(a恒成立，求实数x的取值范围.例7.对于满足2a的所有实数a,求使不等式212xaxax恒成立的x的取值范围.5.数形结合若所给不等式进行合理的变形化为xgxf（或xgxf）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断出结果.例8.若对任意xR,不等式||xax恒成立，则实数a的取值范围是________.例9.当2,1x时，不等式xxalog12恒成立，则实数a的取值范围是________.6.消元转化法对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决．3例10.已知xf是定义在1,1上的奇函数,且11f,若1,1,nm，0nm时0nmnfmf,若122attxf对于所有的1,1x，1,1a恒成立,求实数t的取值范围．二.不等式能成立问题的处理方法若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立,则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立,则等价于在区间D上的minfxB.例11.已知不等式aaxx3132在实数集R上的解集不是空集，则实数a的取值范围是________.例12.存在实数2,1x，使得不等式022aax有解，求实数a的取值范围.三.不等式恰好成立问题的处理方法若不等式Axf在区间D上恰成立,则等价于不等式Axf的解集为D；若不等式Bxf在区间D上恰成立,则等价于不等式Bxf的解集为D.例13.不等式012bxax的解集为1|13xx则ab___________.例14.已知,22xaxxxf当,1x时，xf的值域是,0,试求实数a的值.思考题1.已知xf,xg分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且xxgxf21错误!未找到引用源。．若存在1,210x,使得等式0200xgxaf成立,求实数a的取值范围．4思考题2.已知()fx是定义在[2,2]上的奇函数，当02]x（，时，12xxf，函数axxxg22．（1）若对于任意2,21x，存在2,22x，使得21xgxf，求实数a的取值范围；（2）若对于任意2,22x，存在2,21x，使得21xgxf，求实数a的取值范围；（3）若存在2,2,21xx，使得21xgxf，求实数a的取值范围；（4）若对任意2,2,21xx,恒有21xgxf,求实数a的取值范围；（5）若存在2,2,21xx,恒有21xgxf,求实数a的取值范围；（6）若对任意2,21x,存在2,22x,恒有21xgxf,求实数a的取值范围；（7）若对任意2,22x,存在2,21x,恒有21xgxf,求实数a的取值范围.思考题3.已知函数xxf2，121241xxaxg.（1）若对任意2,1,21xx,恒有21xgxf,求实数a的取值范围；（2）若存在2,1,21xx,恒有21xgxf,求实数a的取值范围；（3）若对任意2,11x,存在2,12x,恒有21xgxf,求实数a的取值范围；（4）若对任意2,12x,存在2,11x,恒有21xgxf,求实数a的取值范围.5任意与存在在考题中我们经常见到这么一类动态的函数、方程或不等式问题：对区间内任意自变量，若命题成立，求参数取值范围；或在区间内存在一个自变量或两个自变量，使命题成立，求参数范围等等。对这类涉及多变量的问题，由于其问题自身的抽象性和隐蔽性，我们将其分为以下几个类型：（1）任意型：①对任意的Dx，都有mxf，则mxfmin；②对任意的Dx，都有mxf，则mxfmax；（2）存在型：①若存在Dx，使得mxf，则mxfmax；②若存在Dx，使得mxf，则mxfmin；（3）“任意=存在”型：对任意的Ax1，存在Bx2，使得21xgxf，则xf的值域是xg值域的子集，即BgAf；（4）“存在=存在”型：若存在Ax1，存在Bx2，使得21xgxf，则xf的值域是xg的值域有非空交集，即BgAf；（5）“任意任意”型：①对任意的Ax1，任意的Bx2，使得21xgxf，则minmaxxgxf；②对任意的Ax1，任意的Bx2，使得21xgxf，则maxminxgxf；（6）“任意存在”型：①对任意的Ax1，存在Bx2，使得21xgxf，则maxmaxxgxf；②对任意的Ax1，存在Bx2，使得21xgxf，则minminxgxf；（7）“存在存在”型：①存在Ax1，存在Bx2，使得21xgxf，则maxminxgxf；②存在Ax1，存在Bx2，使得21xgxf，则minmaxxgxf；