高一数学必修五基本不等式

2abab3.4基本不等式:一、基本不等式的探究EFGHCADBba22abABCDOab重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。222abab基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立。0,02baabba深入探究揭示本质会得到什么？代替和用bababa,0,0剖析公式应用深入探究揭示本质abba2算术平均数几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式可以叙述为:注意：（1）不等式使用的条件不同；（2）当且仅当a=b时取等号；均值不等式222122ababab、222002(,)(,)abababRababab重要不等式：基本不等式：2、两个不等式的推论：2222,1122(,=abababababRab、，当且仅当时取“”）例1、(1)当x0时，，当且仅当x=时取等号。21xx1两个正数积为定值P，和有最小值。abba2利用x0y0解：，Q62yxyx时取等号。当且仅当3yx.,9002yxyxyxyx此时，的最小值是则且，若63例题讲解P2.4,4424y)1(minyxxxx所以因为判断以下命题是否正确变式：;8,2,8,8,)2(min22yxxxxxyRx时当中则设.6,692所以函数的最小值是则若xxy,x03sin9sin1xx错。因为和不一定是正数xxsin9sin错。因为不是定值错。因为xx82一正二定三相等3、基本不等式求最值的条件的探究：应用基本不等式求最值的条件：a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“＝”最值定理：若x、y皆为正数，则（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.注意：①各项皆为正数；②和为定值或积为定值；③注意等号成立的条件.214S2P一“正”二“定”三“相等”和定积最大，积定和最小注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定的最大值。求满足、若正数例xyyxyx,18,2x0,y0解法一：Q1822xyxyyx即81xy时取等号。当且仅当9yxx0,y0解法二：Q时取等号。当且仅当9yx8122yxxy22abab公式变形：x,y2xy18,xy例2、若正数满足求的最大值。x0,y0解：Q812222yxxy281xy时取等号。即当且仅当9,292yxyx1：已知a、b、c为正数，a＋b＋c＝1，且不全相等，求证：1a＋1b＋1c9．基本不等式的应用新坐标71页例2解：∵a，b，c为正数，∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋cb＋bc＋ca＋ac≥3＋2＋2＋2＝9，∵a，b，c不全相等，∴“＝”不成立．即1a＋1b＋1c9．2、（1）、已知x54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值．（2）、已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．新坐标73页例1解：(1)∵x54，∴5－4x0，∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1．当且仅当5－4x＝15－4x时，即x＝1时，上式等号成立，故x＝1时，ymax＝1．(2)(“1”的代换)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝10＋yx＋9xy．∵x0，y0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6．当且仅当yx＝9xy，即y＝3x，取“＝”．又∵1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12．∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16．3、已知x0，y0，且xy＝4x＋y＋12，求xy的最小值．解：∵x0，y0，xy＝4x＋y＋12≥4xy＋12，∴(xy)2－4xy－12≥0，∴(xy－6)(xy＋2)≥0，∴xy≥6，当且仅当4x＝y时取等号．由4x＝y且xy＝4x＋y＋12，得x＝3，y＝12．此时xy有最小值36．新坐标74页例24、建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，这个水池的最低造价为多少元？新坐标75页第四题2x【解】设水池的总造价为y元，池底长为x米，则宽为4x米，由题意可得：y＝4×120＋22x＋8x·80＝480＋320·x＋4x≥480＋320·2x·4x＝480＋320·24＝1760．当x＝4x，即x＝2时，ymin＝1760元．故当池底长为2米时，这个水池的造价最低，最低造价为1760元．