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2016年“数学花园探秘”科普活动五年级组初试试卷A详解一．填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）1.算式1912191912121219的计算结果是__________．【考点】计算，分数计算，整体约分【难度】★【答案】228【分析】原式19191212(19191212)12191219(19191212)1919121212192282.有一种细胞，每隔1小时死亡2个细胞，余下的每个细胞分裂成2个．如果经过8小时后细胞的个数为1284，那么，最开始的时候有__________个细胞．【考点】计算，数列，递推【难度】★★【答案】9【分析】方法一（逆推）：128422644，64422324，32422164，1642284，842244，442224，242214，14229．方法二（不动点/通项）：若有4个细胞，则每小时细胞数目均不变，故知通项式为0(4)24nnaa，故801284(4)24a，09a．3.如图，一道乘法竖式中已经填出了2、0、1、6，那么乘积是__________．×6120【考点】数字谜，乘法竖式谜【难度】★★【答案】6156【分析】第二个部分积小于第一个部分积，故第二乘数的十位比个位小，只能是1．进而第一部分积必为106□，第二部分积十位（即第一乘数十位）为0或1．若乘数为503，则503126036，百位不符合进位要求；若乘数为508，则508126036，百位不符合进位要求；若乘数为513，则513126156，符合要求；若乘数为518，则518126216，百位不符合进位要求．综上，本题有唯一答案6156．4.有一个数列，第一项为12，第二项为19，从第三项起，如果它的前两项和是奇数，那么该项就等于前两项的和，如果它的前两项和是偶数，该项就等于前两项的差（较大数减较小数）．那么，这列数中第__________项第一次超过2016．【考点】计算，数列，等差数列【难度】★★★【答案】252【分析】即奇偶性不同求和，奇偶性相同求差．12、19、31、12、43、55、12、67、79、12、…可见凡是31n项都是12，除去这些项，得到的数列即为首项为19，公差为12的等差数列．第167项1912(1671)2011，第168项1912(1681)2023第一次超过2016，这个数列的第168项是原数列的第16823252项．二．填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）5.四位数双成成双的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数成双双成有__________个因数．【考点】数论，因数个数定理及其逆用【难度】★★★【答案】12【分析】由题意，双成成双恰有三种质因数，其中必有11，设11xyzpq双成成双，(1)(1)(1)42xyz，得双成成双最小是12611326336，其他可能值都至少是五位数，故有唯一解6336双成成双，进而211366331137成双双成，有(21)(11)(11)12个因数．6.右图中，A、B、C、D、E是正五边形各边的中点，那么，图中共有__________个梯形．EDCBA【考点】计数，几何计数【难度】★★★【答案】35【分析】图中有5组平行线，例如AB、EC及过D的边（所在直线设为l）是一组平行线，AB、EC之间枚举知有2个梯形；AB、l之间没有梯形；EC、l之间枚举知有5个梯形，故这组平行线共有7个梯形．梯形总数为7535个．7.对于自然数N，如果在1～9这九个自然数中至少有六个数可以整除N，则称N是一个“六合数”，则在大于2000的自然数中，最小的“六合数”是__________．【考点】数论，分解质因数【难度】★★【答案】2016【分析】6个数中必有偶数，故“六合数”是偶数，枚举知：2002271113只能被1、2、7整除，不符要求；2200423167只能被1、2、3、4、6整除，不符要求；200621759只能被1、2整除，不符要求；320082251只能被1、2、4、8整除，不符要求；201023567只能被1、2、3、5、6整除，不符要求；220122503只能被1、2、4整除，不符要求；201421953只能被1、2整除，不符要求；522016237能被1、2、3、4、6、7、8、9整除，符合要求．8.如图，魔术师在一个转盘上的16个位置写下来了1～16共16个数，四名观众甲、乙、丙、丁参与魔术表演．魔术师闭上眼，然后甲从转盘中选一个数，乙、丙、丁按照顺时针方向依次选取下一个数，图示是一种可能的选取方式．魔术师睁开眼，说：“选到偶数的观众请举手．”这时候，只有甲和丁举手，这时候魔术师就大喝一声：“我知道你们的选的数了！”，你认为甲和丁选的数的乘积是__________．丁丙乙甲16141249111052815613731【考点】组合，进位制，构造【难度】★★★【答案】120【分析】甲、乙、丙、丁四个人所选数分别为偶数、奇数、奇数、偶数，图中连续的位置只有10、11、9、12符合要求，所以甲、丁所选的数必为10和12，其积为1012120．其实连续四个数有16种取法，恰好连续四个数的奇偶情况也是16种，此图的任何连续四个数的奇偶情况都不同，这是魔术的数学原理．三．填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）9.正八边形边长是16，那么阴影部分的面积是__________．【考点】几何，正八边形【难度】★★★★【答案】512【分析】如图，连接正八边形的对角线，可知其中12SS，34SS，所以图中左、右两个阴影部分的面积之和等于中间正方形的面积，也就是1616256．同理，上、下两个阴影部分的面积之和也等于256．所以阴影部分的总面积是2562512．S4S3S2S110.某城市早7:00到8:00是高峰时段，所有车辆的行驶速度变为原来的一半．每天早上6:50，甲、乙两人从这城市的A、B两地同时出发，相向而行，在距离A地24千米的地方相遇．如果乙早出发20分钟，两人将在距离A地20千米的地方相遇；如果甲晚出发20分钟，两人恰好在AB中点相遇．那么，AB两地相距__________千米．【考点】行程，方程行程【难度】★★★★【答案】42【分析】同时出发的情况中，由于两人要减速也是同时减速（当然也许两人并未减速过），故无论哪个时段，甲乙的速度比是固定的，所以任意时段行走的距离比也是固定的．总之，相遇点左、右距A、B的距离比代表了两人的初始速度比．乙先行的情况中，乙所先行的20分钟是以原速运动的，之后的过程类似上一段分析．故设甲、乙原速分别为x、y千米每分，全长S千米，有方程：2420242020xySSy，得120Sy．甲晚行的情况中，乙先以原速独行了10分钟，又以原速的一半独行了10分钟，之后的过程类似第一段分析．有方程：240.5241050.5xSySSyyS，即242430SSSy，将120Sy代入，得14513y，故207y，12042Sy．11.在空格里填入数字1～5，使得每行和每列数字不重复．每个除法从上向下或者从左到右运算都能够整除．问：第二行的前三个数依次是__________．【考点】数独【难度】★★【答案】531【分析】首先确定下图1中的数字；再确定出下图2中的数字；最终填出此图中所有的数字（如图3）．所以所求的三个数依次为531．图1图2图3