CT-系统参数标定及成像

CT系统参数标定及成像摘要CT的图像重建理论的提出是1917年奥地利数学家Radon提出的投影重建图像的理论。Radon的理论解决了从函数线积分求解得到原函数的问题，就是从物体的一组横截面的投影重建横截面图像的过程。针对问题一：本文运用了几何模型。首先，对附件二中数据进行可视化处理，用MATLAB画出附件二中所给的数据对应的色彩深度图像，然后计算出探测器单元的距离d为0.2759mm。其次，通过文献查找，得到了光线通过均匀介质的能量损失和介质距离间的函数关系式。再找出光通过椭圆长轴，小圆直径时的能量的损失量的大小来确定出函数的两个常数。解出每次旋转后光线的角度cita然后通过光线穿过椭圆后接收器接受到的数据中的最大的3个值。用此估计倾斜角cita通过椭圆中心的直线所截得的椭圆长轴L，然后该X光线通过小圆距离为m,两者相加就等于接收器中的数据最大值转化成的距离值，因此可以得出每一个cita为1.0000°。最后，通过分析旋转所造成接收器上接受小圆的数据位置偏移，求出旋转中心相对于托盘中的位置（-9.273,5.536）。由旋转相对性可以得出，把CT系统发射器接收器看做稳定不变，而托盘与其物体以顺时针的方向旋转。通过旋转的位置和几何关系求出圆心的水平偏移deltal,而水平偏移就等于接收器上小圆的轨迹。针对问题二：本文运用了基于拉东变换（Radon）的图像重建模型。首先，运用MATLAB对数据进行了分析，利用拉东变换（Radon）的逆变换原理，依据附件3提供的未知介质的投影数据信息，得到362×362维的吸收率矩阵，然后通过imresize算法对矩阵进行维度缩放，得到256×256维的吸收率矩阵，从而得到附件4中对应10个点坐标的吸收率。并且通过图像重建确定了未知介质的位置和几何形状。针对问题三：1.基于问题二所建立的模型，运用拉东变化逆变换（Iradon）算法，利用附件5的投影数据信息，得到重建图像以及吸收率矩阵，又依据MATLAB中imresize矩阵放缩算法得到附件4中10个点的吸收率。针对问题四：因为CT的测量存在误差，由查阅文献得，目前CT的误差来源于：CT系统的角度误差，尺寸示值误差，坐标测量误差，重复性误差等。CT系统误差源的分析和校准具有重要意义，本文对误差的来源归纳分析，提出了优化模型，对CT发展具有参考作用。关键词：几何解析模型、朗伯定律、Iradon变换、图像重建、探测误差一、问题重述CT(ComputedTomography)可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。CT扫描主要由X射线管和不同数目的探测器组成，可以用来接受信息。题目给了本文一种典型的二维CT系统，X射线垂直于探测器平面且平行入射，每个探测器单元可以看成一个接收点，并且等距排列。已知X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，且整个发射-接收系统绕某固定的点逆时针旋转180次。对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品（称为模板）标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题：(1)在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称为“吸收率”。对应于该模板的接收信息见附件2。请根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。(2)附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率，相应的数据文件见附件4。(3)附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，给出该未知介质的相关信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率。(4)分析(1)中参数标定的精度和稳定性。在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性，并说明理由。(1)-(4)中的所有数值结果均保留4位小数。同时提供(2)和(3)重建得到的介质吸收率的数据文件（大小为256×256，格式同附件1，文件名分别为problem2.xls和problem3.xls）图1.CT系统示意图图2.模板示意图（单位：mm）图3.10个位置示意图二、问题背景随着计算机的飞速发展，数字图像技术也得到了巨大的进步，在短短几十年间，数字图像技术在航空航天、医疗、交通等重要领域得到了广泛的应用。CT的在医疗中的工作程序可以这样描述：它可以根据人体不同组织对X射线的吸收率不同，将接收到的信息以数据的形式输入到电子计算机中，经过电子计算机进行处理后，就可以得到X射线下人体的检查部位的断面图像，供给医生发现患者身体存在的问题，并且的得到准确的治疗。CT的图像重建理论的提出是1917年奥地利数学家Radon提出的投影重建图像的理论。Radon的理论解决了从函数线积分求解得到原函数的问题，就是从物体的一组横截面的投影重建横截面图像的过程。三、模型假设1.假设模板的倾斜度忽略为零，模板平面与光线完全平行。2．假设光线射进不同的介质没有偏转角度。3．假设忽略CT系统产生伪影现象的影响。[1]4．假设实验所收集的数据能够客观反映该实验的实际情况。5．假设光子波动不明显，忽略光的衍射现象造成的影响。四、问题分析针对问题一：1.对附件二中数据进行可视化，用MATLAB画出附件二中所给的数据对应的彩色深度图像。2.计算出探测器单元的距离d。从彩色深度图中提取光线仅过模板右侧小圆的数据。因为探测器单元是等距分布。所以可以把多组数据中的每组数据在接收器上个数加以平均得到小圆的半径和探测器单元间距的比例关系，因此求出d。3.确定X光线能量的损失和其通过的距离的函数关系。通过文献查找，得到了光线通过均匀介质的能量损失和介质距离间的函数关系式。再找出光通过椭圆长轴，小圆直径是的能量的损失量的大小来确定出函数的两个常数。4.解出每次旋转后光线的角度cita然后通过光线穿过椭圆后接收器接受到的数据中的最大的3个值。用此估计倾斜角cita通过椭圆中心的直线所截得的椭圆长轴L，然后该X光线通过小圆距离为m,两者相加就等于接收器中的数据最大值转化成的距离值，因此可以得出每一个cita。5.通过分析旋转所造成接收器上接受小圆的数据位置偏移，求出旋转中心相对于托盘中的位置（x,y）。由旋转相对性可以得出，把CT系统发射器接收器看做稳定不变，而托盘与其物体以顺时针的方向旋转。通过旋转的位置和几何关系求出圆心的水平偏移deltal,而水平偏移就等于接收器上小圆的轨迹[2]。针对问题二：问题二是利用第一问中得到的CT系统的某未知介质的接收信息，利用问题一中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。该问题是图像重建的问题，即利用附件3中的信息对图像进行重建。对于此问题的解决，首先，本文运用了MATLAB对数据进行了分析，利用拉东变换（Radon）的逆变换原理，从投影数据二维重建出图像。针对问题三：1.基于问题二所建立的模型的基础上，依旧运用拉东变化逆变换（Iradon）原理，利用附件5的投影数据信息，得到重建图像以及吸收率矩阵，又依据MATLAB中矩阵放缩算法imresize得到附件4中10个点的吸收率。针对问题四：因为CT的测量存在误差，由查阅文献得，目前CT的误差来源于：CT系统的角度误差，尺寸示值误差，坐标测量误差，重复性误差等。2.根据问题1中的模板示意图（原题图二）所测量的误差进行定量分析，找出误差大小。3.根据问题1中的模板示意图（原题图二）进行修改或创造一个新的模板示意图。使其性能高于原模板。五、符号说明符号意义𝐼0X射线的投影IX射线穿过均匀介质的投影μ衰减系数l介质厚度D小圆的直径n探测器单元平均个数d探测器单元距离θ旋转角度∅Xr与X的夹角τ极坐标系P广义投影六、模型建立与求解5.1基于几何分析模型的位置、方向确定与距离的求解首先把附件二数据导入MATLAB，画出下图彩色深度图。如下图：图4附件2彩色深度图经过分析可以得出，图中有一条类于正弦函数曲线为右侧小圆的成像，是一半完整周期。根据第一代CT机发射接受系统每次转过1°得180次转180°。对于椭圆部分，暖色部分是X光线与长轴夹角较小的部分（包括重合和平行）的时候的能量损失量。冷色部分是X光线与椭圆的短轴的夹角小（包括重合和平行）的时候的能量损失量。小球的类正弦曲线约与它重合了4/9。把小圆没有穿过椭圆的部分数据单独分离出来（84组），将这84组数据进行统计分类，得出14组28个数据，70组29个数据。本文通过研究光线与小圆的交点个数来估计d的数值大小，取了数据个数平均值。公式：D=n×d（5-1-1）求得：d=0.275（5-1-2）光线与小圆在最左侧交点[0,d)。根据衰减规律遵循的朗伯定律：I=𝐼0×𝑒−𝜇𝑙（5-1-2）（𝐼0为X射线的投影，I狭义为X射线穿过均匀介质后的投影，μ是衰减系数，d是穿过介质厚度）。公式两边取以e为底的自然对数，整理得：μ=1𝑑×ln(𝐼0𝐼)=P（P称广义的投影）（5-1-3）利用MATLAB做以椭圆中心为原点为O短轴以右为x轴的正半轴，长轴以上为y轴的正半轴，由此计算出常数μ和中心坐标。根据彩色深度图像和图一的对应关系，找出特殊角度和特殊值，首先将彩色图中找出宽度最大的那一列，有光线成像原理可得该时刻的图像是光线正好垂直于长轴是成的像。假设该旋转中心位于正方形的中心，即椭圆的中心。那么，小圆应该正好落在这一列的中点256，事实没有落在中点，而在中点的下方，所以这段距离差就是对应的旋转中心的纵坐标。同理，找到最小值对应的是椭圆的短轴正好垂直于X光线。256减去这段距离的中点到这一列底端的距离就是旋转中心的横坐标。由于d=0.275，用相差距离的格数乘d即可得出旋转中心的坐标（-9.273,5.536）。[3]通过旋转中心的为确立和彩色深度图的特殊位置来确定旋转角度。本文可知在最短的那一列是0°，那么在最长的那一列就是90°。通过数格（每一个代表一度）计算可得起始角度第三象限于x负半轴成53°，角度为179.64°。5.2基于拉东变换逆变换（Iradon）的图像重建模型首先，将附件3的数据导入MATLAB中，运用MATLAB中的Iradon函数，可以得到该图形的二维图像和三维图像，由于题目中正方形托盘上放置的两个均匀固体介质组成的标定模板的数据已经给出，附件2中为待检测介质经吸收衰减后的X射线能量接受的信息，所以本文通过Iradon函数将附件2图像重建，根据所求得的精确信息与标定模块所给的几何信息进行比较，对矩阵中的数据进行转换。基于Radon逆变换的傅里叶变换模型：∫(𝑥,𝑦)=14𝜋2∫𝑑𝜃∫𝑅𝑓𝜃(𝜔)+∞−∞𝑥0𝑒𝑓𝜔(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃)|𝜔|𝑑𝜔（5-2-1）式中𝑅𝑓𝜃(𝜔)表示投影R𝑓(𝜃,𝑡)关于t的傅里叶变换[4]。通过MATLAB中的Iradon函数，将附件3导入，得到的图像如下图所示：图5附件2重建图像根据问题一中，得到的旋转中心的坐标为（-9.273,5.536）图6旋转中心坐标标定然后，将附件3中的文件导入MATLAB中，重复上述步骤，得到附件3的重建二维图像，如下图所示：图7附件3图像重建利用MATLAB中的mesh算法，可以得到附件3重建后的三维密度图像：图8附件3三维密度图像重建由此三维图像，我们可以看出，此几何图形的大体形状为椭圆形，并且有两个缺失的小椭圆及重合的一个小椭圆构成。为