数学建模国赛优秀论文

倾斜卧式储油罐油量标定的实用方法摘要储油罐长期使用会产生变位，从而使罐容表的标定值与理论值存在误差。因此，需要进行识别变位并对罐容表进行重新标定。首先，对小椭圆形储油罐进行研究：利用微积分知识建立了平头罐无变位情况下罐内油量和油位高度关系的数学模型，并在此基础上建立了纵向倾角时罐内油量和油位高度关系的理论模型，利用用龙贝格积分公式求解不同油位高度时储油量的数值解，进而进行罐容表的标定。4.1其次，对实际储油罐进行研究：将油位高度分成三种情况，在每种情况下，对球冠、筒身的油量与油位高度的函数关系进行了分别推导。在计算球冠内油量与油位高度的关系时采用了拆补法，边缘情况使用了近似计算。对于最终建立的储油量和油位高度关系理论模型，利用最小二乘法和单目标优化的的方法进行参数估计，求得：2.14°=4.6°得到α和β后，对罐容量进行重新标定。检验模型时利用相对标准偏差的思想，构造评价函数，得到结果0.0055%，误差极其微小，说明了所建模型的正确性和可靠性。所建模型充分利用了附表中的数据，并合理地筛选了有效数据，适于推广到运输，化工，储藏行业。关键词：龙贝格积分法，最小二乘法，单目标优化，误差分析目录1.问题重述---------------------------------------------------------22.问题分析---------------------------------------------------------23.模型假设---------------------------------------------------------24.符号说明---------------------------------------------------------35.模型建立与求解---------------------------------------------------45.1小椭圆型储油罐的罐容表标定----------------------------------45.1.1罐体无变位时的罐容表标定-----------------------------45.1.2纵向变位倾斜角α=4.1°时的罐容表标定-----------------55.2实际储油罐的罐容表标定-------------------------------------105.2.1油罐内油料体积的计算--------------------------------105.2.2利用最小二乘法对α、β进行估计----------------------145.2.3误差分析及模型检验----------------------------------156.模型分析---------------------------------------------------------167.参考文献---------------------------------------------------------178.附录-------------------------------------------------------------178.1附录一龙贝格积分matlab程序-------------------------------178.2附录二参数估计的C++程序----------------------------------18-1-1．问题重述通常加油站都有若干地下储油罐，许多储油罐在使用一段时间后，罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，需要定期对罐容表重新标定。本题要求用数学建模的方法研究以下两个问题：问题一：对平头小椭圆型储油罐无变位和纵向倾斜4.1°两种情况进行研究，并建立数学模型，研究罐体变位对罐容表的影响，并重新标定罐容表。问题二：对球形封头的实际储油罐的横向偏转和纵向倾斜进行研究，并建立出罐体变位后标定罐容表的数学模型，根据所建立的模型确定变位参数和，最后利用实验数据对模型进行检验。2．问题分析题目采用油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。由于变位等原因产生了理论值和标定值的相应误差。题中要求分析这些误差并予以修订。在第一问中，需要对倾斜角的罐容表进行重新标定。因此，解决该问题的关键是：充分利用各种几何关系求出储油量和油位高度的函数关系，并合理解决积分形式较复杂时函数数值解的计算问题。4.1在第二问中，同样需要先计算出储油量和油位高度的函数关系式，由于问题中变位参数未知，故解决此问题的关键是：寻找一种方法，利用求得的罐内储油量与油位高度及变位参数的关系式来确定和具体的数值，从而确定罐容表，并利用统计学相关知识检验模型的正确性并进行误差分析3．模型假设1）变位纵向倾斜时只在出油管一侧向上倾斜2）不计储油罐壁厚对油量统计的影响及温度对油体积的影响3）进/出油时无油量损失-2-4．符号说明0.89a小椭圆型油罐横截面长半轴0.6b小椭圆型油罐横截面短半轴h油浮子测得的油高纵向倾斜角横向倾斜角1L油浮子到小椭圆型油罐左壁的距离2L油浮子到小椭圆型油罐右壁的距离Sh油高为h时小椭圆油罐截面面积()Vh小椭圆型油罐油高为h时罐内理论剩余油量1()Vh小椭圆型油罐油高为h时罐内实际剩余油量mV小椭圆型油罐装满油时的油量headVh油高为h时实际储油罐球冠的理论储油量bodyVh油高为h时实际储油罐中间筒体的理论储油量R球冠的球径hr球冠水平截面圆的半径r球冠竖直截面圆的半径0V实际储油罐出油时的初始油量-3-5．模型建立与求解5.1问题一：小椭圆型储油罐的罐容表标定此部分针对小椭圆型储油罐，分别对罐体无变化和倾斜角为的纵向变位两种情况进行模型建立，然后与附表中所给实验数据进行对比，以此分析模型建立的准确性，并研究罐体变位后对罐容表的影响。5.1.1罐体无变位时的罐容表标定（1）模型的建立：小椭圆型油罐横截面如图1所示，以椭圆下顶点为原点建立坐标系，可得椭圆方程22220.61yxab，其中0.89a,0.6b。图1由椭圆方程可导出22axybby，在y轴上积分得油高为h时椭圆油罐截面面积20()(22)haShyybdyb。无变位时，油罐内剩余油量可视为一个高度为2.45m的柱体，故油高为h时对应的剩余油料体积20()(22)haVhLybydyb积分得：21()21arcsin22hbhbhbVhabLbbb4（2）模型求解与验证：为验证模型的正确性，现将计算结果与实验数据进行对比。取表中所给一系-4-列h值，求出对应的剩余油量，即为计算值；同时，将表中列出的剩余油量数据进行曲线拟合得到如下函数：1047321()7.247104.706100.0025352.321388.1262Vxxxxx画出与的曲线图如下：()Vh1()Vh图2无变位储油量理论值与实际值对比图由图2看出，理论计算值与实际值有存在一定的偏差，并且随h的增高，理论计算值与实际测量值的差值越来越大。仔细分析其原因：由于注油管、出油管及油浮子均占有一定体积，随h的增高，注油管、出油管及油浮子浸入液面下的体积也在逐渐增加，导致实际值比理论值偏大，且差值会随h的增加而增加。5.1.2纵向变位倾斜角时的罐容表标定4.1（1）模型的建立：由5.1.1模型建立过程问可知，高度为h，长短轴为a、b的椭圆部分面积21()21arcsin22hbhbhbShabbbb4当纵向倾斜角时，为方便运算，将油罐经旋转后放入坐标系进行分析，4.1如下图所示：-5-图3由图知，当油浮子显示高度为h时，横坐标为x处的油面高度1()tanyhLx对x轴上每一点对应的截面积进行积分，即得到油料体积。由积分范围的不同，油料体积的计算分为以下三种情况：①12tantanLhL时：如图4所示图4油罐内油料体积1tan10()(()tan)hLVhShLxdx②2tantanLhML1时：如图5所示图5油罐内油料体积1210()(()tan)LLVhShLxdx③1tanMLhM时：如图6所示-6-图6如图设，则易看出'h'21()tanhMhLL。于是，设罐内总油量为，mV可以直观地看出：油罐内的剩余油量V=mVV。同时，可使用①中的方法利用求得空余部分体积，最终可得到：'h()VVh'罐内油料体积'1'tan10(()tan)hLmVVShLxdx（2）模型求解与验证：由于以上体积函数形式不一，且较为复杂，若通过正常的积分求取结果会比较繁琐。考虑问题一不要求找出具体函数关系，只需要每隔1cm标注一次结果，故利用龙贝格积分[2算法求解积分的数值解，从而对罐容量进行标定。龙贝格积分法具体算法如下：]设用复合梯形计算积分bafxdx的近似值，取步长bahn，并记，则有1nThT11()2ni1()()()2ihThfaxfbfI。当()fx在[,上充分光滑时，可证用逼近]ab1ThI的截断误差是242ah211ah()IThkkah，其中是与无关的常数。按理查森外推法kah11mFhFh1,2),1,()FhmFq2()1mpmmphqq()mFh其中q为满足10的适当正数。以(qmmp12q取序列1()mTh4()(2)41mmnmhTT),(1,2hm。其中用T来逼近1()hmI的误差为。2(1)()mOh龙贝格算法具体实现见附录一，将h=0,1,2,3…119,120带入到，由龙()Vh-7-贝格算法计算得到油位高度间隔为1cm的罐容表标定值，列表如下：表1小椭圆型储油罐罐容表油高(mm)储油罐油量(L)油高(mm)储油罐油量(L)油高(mm)储油罐油量(L)00~1.674387400965.6607768002661.422634103.5311224101004.9537828102703.552425206.2636484201044.5839218202745.491028309.9768664301084.5348718302787.2247734014.7589564401124.7907178402828.7397795020.6941014501165.3359248502870.0219376027.8580684601206.1552988602911.0568867036.3208834701247.2339668702951.8299958046.1477224801288.5573448802992.3263379057.3995784901330.1111178903032.53066210070.1337785001371.8812179003072.4273711084.4043945101413.85389103112.000481120100.2625815201456.015239203151.233596130117.7568435301498.3520599303190.109866140136.9332735401540.8510139403228.611946150157.8184215501583.4989739503266.721951160180.2590995601626.2829619603304.421402170203.9994055701669.1901289703341.691168180228.9066035801712.2077