1.1算法与程序框图

问题的提出有一个农夫带一条狼狗、一只羊和一筐白菜过河。如果没有农夫看管，则狼狗要吃羊，羊要吃白菜。但是船很小，只够农夫带一样东西过河。问农夫该如何解此难题？方法和过程：1、带羊到对岸，返回；2、带菜到对岸，并把羊带回；3、带狼狗到对岸，返回；4、带羊到对岸。[问题1]请你写出解二元一次方程组的详细求解过程.35(1)2494(2)xyxy35(1)2494(2)xyxy解方程第一步,由（1）得35(3)xy第二步,将（3）代入（2）得2(35)494(4)yy第三步,解（4）得12(5)y第四步,将（5）代入（3）得23x第五步,得到方程组的解得2312xy35(1)2494(2)xyxy解方程第一步,(1)2(2)224(3)y得：－第二步,第三步,第四步,第五步,得到方程组的解得2312xy(3)12y解得：(1)4(2)246(4)x得：(4)23x解得：广义地说：为了解决某一问题而采取的方法和步骤，就称之为算法。在数学中，按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤，称为算法。现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.算法的概念:没有软件的支持，计算机只是一堆废铁而已；软件的核心就是算法！算法的特征•一.确定性:每一步必须有确切的定义。•二.有效性：原则上必须能够精确的运行。•三.有穷性：一个算法必须保证执行有限步后结束算法的优缺点•一.缺点:算法一般是机械的,有时需要进行大量重复的计算.•二.优点:算法是一种通法,只要按照步骤去做,总能得到结果.•广播操图解是广播操的算法；•菜谱是做菜的算法；•歌谱是一首歌曲的算法；•空调说明书是空调使用的算法等我们身边的算法算法学的发展•随着科学技术的日新月异,算法学也得到了前所未有的发展,现在已经发展到了各个领域.有遗传算法,排序算法,加密算法,蚁群算法等,与生物学,计算机科学等有着很广泛的联系,尤其是在现在的航空航天中,更是有着更广泛的应用.很多复杂的运算都是借助计算机和算法来完成的,在高端科学技术中有着很重要的地位.应用举例例1.(1)设计一个算法判断7是否为质数.第一步,用2除7,得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.第二步,用3除7,得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.第三步,用4除7,得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.第四步,用5除7,得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.第五步,用6除7,得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.应用举例例1.(2)设计一个算法判断35是否为质数.第一步,用2除35,得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.第二步,用3除35,得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.第三步,用4除35,得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.第四步,用5除35,得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定.第一步：判断n是否等于2.若n=2，则n是质数；若n2，则执行第二步.第二步:依次从2～（n－1）检验是不是n的因数，即整除n的数,若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数.•这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法.•用语言描述一个算法,最便捷的方式就是按解决问题的步骤进行描述.每一步做一件事情.应用举例例2.用二分法设计一个求方程220x的近似根的算法.(0)x探究解决对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.22(0)yxx解决问题×第四步,若f(a)·f(m)0,则含零点的区间为［a,m］；第一步,令.给定精确度d.2()2fxx第二步,给定区间［a,b］,满足f(a)·f(b)＜0．第三步,取中间点．2abm第五步,判断［a,b］的长度是否小于d或者f(m)是否等于０.将新得到的含零点的仍然记为［a,b］.否则，含零点的区间为［m,b］.若是，则m是方程的近似解;否则，返回第三步．解决问题abmf(m)d121.50.25111.51.25-0.43750.51.251.51.375-0.1093750.251.3751.51.43750.066406250.1251.3751.43751.40625-0.022460940.06251.406251.43751.4218750.0217285160.031251.406251.4218751.4140625-0.000427250.0156251.41406251.4218751.417968750.0106353760.00781251.41406251.4179691.416015630.005100250.00390625当d=0.05时评析:实际上,上述步骤就是在求的近似值.2与一般的解决问题的过程比较,算法有以下特征:①设计一个具体问题的算法时,与过去熟悉地解数学题的过程有直接的联系,但这个过程必须被分解成若干个明确的步骤,而且这些步骤必须是有效的.②算法要“面面俱到”,不能省略任何一个细小的步骤,只有这样,才能在人设计出算法后,把具体的执行过程交给计算机完成.练习一:任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个数为半径的圆的面积.算法分析:第一步:输入任意一个正实数r;第二步:计算以r为半径的圆的面积S=πr2;第三步:输出圆的面积.课本5页1练习二:任意给定一个大于1的正整数n,设计一个算法求出n的所有因数.算法分析:第一步:依次以2~(n-1)为除数去除n,判断余数是否为0,若是,则是n的因数;若不是,则不是n的因数.第二步:在n的因数中加入1和n;第三步:输出n的所有因数.课本5页2练习三:为了加强居民的节水意识,某市制订了以下生活用水收费标准:每户每月用水未超过7m3时,每立方米收费1.0元,并加收0.2元的城市污水处理费;超过7m3的部分,每立方米收费1.5元,并加收0.4元的城市污水处理费,请你写出某户居民每月应交纳的水费y(元)与用水量x(m3)之间的函数关系,然后设计一个求该函数值的算法.解:y与x之间的函数关系为:1.2,1.94.9xyx(当0≤x≤7时)(当x7时)解:y与x之间的函数关系为:1.2,1.94.9xyx(当0≤x≤7时)(当x7时)求该函数值的算法分析:第一步:输入每月用水量x;第二步:判断x是否不超过7.若是,则y=1.2x;若否,则y=1.9x-4.9.第三步:输出应交纳的水费y.计算机解决任何问题都要依赖于算法.只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤,即算法,并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来,计算机才能够解决问题.1.1.2程序框图问题提出1.算法的含义是什么？在数学中，按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤称为算法.2.算法是由一系列明确和有限的计算步骤组成的，我们可以用自然语言表述一个算法，但往往过程复杂，缺乏简洁性，因此，我们有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法，这个想法可以通过程序框图来实现.知识探究（一）：算法的程序框图思考1:“判断整数n（n2）是否为质数”的算法步骤如何？第一步，给定一个大于2的整数n；第二步，令i=2；第三步，用i除n，得到余数r；第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示；第五步，判断“i(n-1)”是否成立，若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.开始输入ni=2求n除以i的余数ri的值增加1仍用i表示i≥n或r=0?n不是质数结束是否是n是质数否r=0?i=i+1思考2：为了使算法的程序或步骤表达得更为直观,我们更经常地用图形方式来表示它.程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.通常,程序框图由程序框和流程线组成.一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;流程线是方向箭头,按照算法进行的顺序将程序框连接起来.思考3：基本的程序框和它们各自表示的功能？图形符号名称功能终端框(起止框)表示一个算法的起始和结束输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息处理框(执行框)判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”；不”成立时标明“否”或“N”.判断框赋值、计算流程线连接程序框连接点连接程序框图的两部分开始输入ni=2求n除以i的余数ri的值增加1仍用i表示i≥n或r=0?n不是质数结束是否是n是质数否r=0?设n是一个大于2的整数.一般用i=i+1表示.i=i+1说明:i表示从2~(n-1)的所有正整数,用以判断例1步骤2是否终止,i是一个计数变量,有了这个变量,算法才能依次执行.逐步考察从2~(n-1)的所有正整数中是否有n的因数存在.思考4：通过上述算法的两种不同表达方式的比较,你觉得用程序框图来表达算法有哪些特点?用程序框图表示的算法更加简练,直观,流向清楚.开始输入ni=2求n除以i的余数ri=i+1i≥n或r=0?n不是质数结束是否是n是质数否r=0?顺序结构思考:5：用程序框图来表示算法，有几种不同的基本逻辑结构？条件结构循环结构知识探究（二）：算法的顺序结构思考1:任何一个算法各步骤之间都有明确的顺序性，在算法的程序框图中，由若干个依次执行的步骤组成的逻辑结构，称为顺序结构，用程序框图可以表示为：步骤n步骤n+1在顺序结构中可能会用到哪几种程序框和流程线？?思考2:若一个三角形的三条边长分别为a，b，c，令，则三角形的面积.你能利用这个公式设计一个计算三角形面积的算法步骤吗？2abcp++=()()()Sppapbpc=---第一步，输入三角形三条边的边长a，b，c.第二步，计算.2abcp++=第三步，计算.()()()Sppapbpc=---第四步，输出S.思考3:上述算法的程序框图如何表示？开始结束输出S输入a，b，c2abcp++=()()()Sppapbpc=---例1一个笼子里装有鸡和兔共m只，且鸡和兔共n只脚，设计一个计算鸡和兔各有多少只的算法，并画出程序框图表示.算法分析：第一步，输入m，n.第二步，计算鸡的只数.42mnx-=第三步，计算兔的只数y=m-x.第四步，输出x，y.开始结束输出x，y输入m，n42mnx-=y=m-x程序框图：例2已知下图是“求一个正奇数的平方加5的值”的程序框图，若输出的数是30，求输入的数n的值.开始结束输入正整数n输出yy=x2+5x=2n-1练习：1.就（1）、（2）两种逻辑结构，说出各自的算法功能开始输入a，b结束sum=a+b输出sum开始输入a，b22baddc输出c结束（1）（2）答案：（1）求直角三角形斜边长；（2）求两个数的和．2.已知梯形上底为2，下底为4，高为5，求其面积，设计出该问题的流程图．开始5,4,2hbahbaS)(21输出S顺序结构的程序框图的基本特征：顺序结构知识小结（2）各程序框从上到下用流程线依次连接.（1）必须有两个起止框，穿插输入、输出框和处理框，没有判断框.（3）处理框按计算机执行顺序沿流程线依次排列.条件结构r=0?N不是质数n是质数是否知识探究（三）：算法的条件结构条件结构---在一个算法中,经常会遇到一些条件的判断,算法的流向根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构.满足条件?是否步骤A步骤B满足条件?是否步骤A课本例4:任意给定3个正实数,设计一个算法,判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在.画出这个算法的程序框图.算法分析:第一步:输入3个正实数a,b,c;第二步:判断a+bc,a+cb,b+ca是否同时成立,若是,则能组成三角形;若否,则组