2.2--部分分式

2.2部分分式部分分式是有理分式运算和变形的重要内容，在高等数学有理函数积分中有着重要的应用.()(),(1)()()()()().PxRxQxPxQxnmPxQxnmnmnm考虑有理分式这里与分别是、次多项式，并假定分子多项式与分母多项式之间没有公因式当有理分式（1）的分子多项式的次数小于其分母多项式的次数，即时，称这个有理分式为；而当时，称这个有理分式为真分式假分式。利用多项式除法，总可以把一个假分式化成一个整式和一个真分式的和，且这种表示法是唯一的。因此我们主要研究真分式。例如22211.11xxxxx在很多应用问题中，要求我们把一个真分式分解为几个真分式代数和的形式，例如其中两个比较简单的真分式，叫做原分式的部分分式。部分分式：由一个真分式分解成几个真分式代数和，这几个分式中的每一个真分式叫做原分式的部分分式或分项分式。132x11x11132)1)(13(35xxxxx)1)(13(35xxx22222()()4()(1);(2);()(3);(4)()2,3,,40.QxPxQxAAxaxaBxDBxDxpxqxpxqxkpq如果多项式在实数范围内能够分解成一次因式和二次因式的乘积，那么真分式可以分解为下面种部分分式（也称最简分式）之和：其中，且1222112222()()();()()())()(kkkkABDQxkxaxkAAAxaxaxaQxkxpxqxkBxDBxDxpxqxpxq分解式中的常数、、等可用待定系数法求得.具体方法是：当有重一次实因式时，对应R分解后有下列个部分之和：当含有重二次实因式(时，对应R分解后有下列个部分分式之和：22.)()kkkBxDxpxq如何把真分式分解呢？由我们做分式加法的经验，注意到和互质，它们的最低公倍式是，所以一定是这样两个真分式与的和，那么如何来求系数a,b呢？方法1：待定系数法即设其中a,b是待定常数，去分母，得于是有比较两边同次项系数，得所以a=2,b=1,把a=2,b=1代入原式得)13(x）（1x)1)(13(xx)1)(13(35xxx13xa1xb113)1)(13(35xbxaxxx)13()1(35xbxax)()3(35baxbax353baba11132)1)(13(35xxxxx方法2：数值代入法即设其中a,b是待定常数，去分母，得且是恒等式，即x可以取任意值。令x=1代入恒等式，得b=1；再令x=代入得a=2,所以113)1)(13(35xbxaxxx)13()1(35xbxax3111132)1)(13(35xxxxx例1化分式为部分分式。解：原分式为假分式，应先化为代分式。设去分母，得用数值代入法求a,b,c,令所以xxxxxx23122334xxxxxxxxxxxx2313)1(23122322334)2)(1(13)1(2xxxxxx21)2)(1(132xcxbxaxxxxx)1()2()2)(1(132xcxxbxxxaxx.21),12)(2(164,2;1),21)(1(131,1;21211,0ccxbbxaax得得，得)2(211121)1(23122334xxxxxxxxxx例2化分式为部分分式解：因故设于是即比较两边同次项系数，得解这个方程组，得a=1,b=1,c=0所以11232xx)1)(1(123xxxxcaxcbaxbax)()(1222102cacbaba11112232xxcbxxaxx111112232xxxxxx)1)(()1(1222xcbxxxax例3化分式为部分分式。解：设即为了求a，比较上式两边的系数，得1=-2a+c将c=代入上式得a=所以)21()2(5222xxxxxcxbxaxxxx21)2(2)21()2(5222222)2()21()21)(2(52xcxbxxaxx91721;352cxbx代入上式得以代入上式得以)21(917)2(35)2(94)21()2(52222xxxxxxx91794分析：原式可设为但由于而2a+e为常数，令2a+e=b,于是可设xcxeaxxxxx21)2()21()2(522222222)2(22)2()2()2()2()2()2()2(xeaxaxeaxaxeaaaxxeaxxcxbxaxxxx21)2(2)21()2(52222例4化分式为部分分式解：利用配方法可以将分子化为关于的二次多项式，即因为上式为恒等式，令x=1得c=2；令x=2得7=a+b+2；令x=0得1=a-b+2，联立方程解得a=2，b=3所以即32)1(12xxx1x323232)1(2)1(312)1(2)1(3)1(2)1(12xxxxxxxxx2)1(3)1(21222xxxxcxbxaxx)1()1(1222对于某些分式我们可用观察法把它分解为部分因式，例如)11(1))((11bxaxbabxax、)(1))((2bxbaxababxaxx、41)4()4(4)4(4443222222223xxxxxxxxxxxxxxx、222)2(4)2(2)2(4)2(2)2(24xxxxxx、222222)2(4241)2(4)2(41)2(44)44()2(5xxxxxxxxxx、综合以上各例，可以归纳出以下结论：如果多项式在实数集内能分解成一次因式的幂与二次因式的幂的乘积，即其中，则真分式可以分解成如下部分分式之和：其中都是常数)(xg)()()()()(220srxxqpxxbxaxbxg04,0422srqp)()(xgxf)()()()()(121axAaxAaxAxgxfsrxxSxRsrxxSxRsrxxSxRqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMbxbxBbx2122221121222211121)()()()()(B)()(BS,S,R,R,N,N,M,M,B,B,A,A111111