高等数学公式大全

1·等价无穷小·常用泰勒展开·高阶导数：·导数公式：·高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv+++−−++′′−+′+==−−−=−∑·中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf=′′=−−−′=−)(F)()()()()()())(()()(ξξξaxxaaaxxxxxxxxxxtaxxln1)(logln)(cotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)an(22=′=′⋅−=′⋅=′−=′=′222211)cot(11)an(11)(arccos11)(arcsinxxarcxxarctxxxx+−=′+=′−−=′−=′()()()()()()()()()()()()[]()()()nxnnnxnxnnnxnaxanxaxenxenxnxnxnx)1()!1(111ln11!111ln2coscos2sinsin+−−−=+++−=+•==•+=•+=ππ()exuxxxxxxxxxxxxxxaxxaxaxxxexxxxxxxxxuaxx=+−+−−−−+−−−+1333321lim~1)1(61~arcsin61~sin31~tan21~sintanln~)1(logln~121~cos1~1~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin()()()!)1()2)(1()(o!3)2)(1(!2)1(11)(o111)!2()1()(o!41!211cos)!12()1()(o!51!31sin)1()(o3121)1ln(!1)(o31211e33213322442125531x11332332nnaaaaxxaaaxaaaxxxxxxxxxnxxxxxnxxxxxnxxxxxxxnxxxxaxnnnnnnnnx+−−−∑=+−−+−++=+∑=++++=−−∑=++−=+−∑=++−=−∑=++−=+∑=++++=+≤≤−−2·基本积分表·三角函数的有理式积分：∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫+±+=±+=+=+=+−=⋅+=⋅+−==+==CaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxxdxxCxdxxxCxxdxxdxCxtxdxxdxxx)ln(lncsccotcscsectanseccotcscsinanseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxaxadxCxxxdxCxxxdxCxxdxCxxdxt+=−+−+=−++−=−+=++−=++=+=+−=∫∫∫∫∫∫∫∫arcsinln21ln21arctan1cotcsclncsctanseclnsecsinlncotcoslnan22222222222212211cos12sinududxxtguuuxuux+==+−=+=，　，　，　3·三角函数公式：·和差角公式：·和差化积公式：·倍角公式：·万能公式：·反三角函数性质：arcctgxarctgxxx−=−=2arccos2arcsinππ　　　·半角公式2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα−+=−−+=+−+=−−+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcotcot1cotcot)cot(tan1tantan)(ansinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(±⋅=±⋅±=±=±±=±tamtαααααααααααααα222222tan1tan22tancot21ot2cotsincossin211cos22coscossin22sin−=−=−=−=−==cxxxxxxxxeeeechxshxthxeechxeeshx−−−−+−==+=−=:2:2:双曲正切双曲余弦双曲正弦ααααααααααααααααααcos1sinsincos1cos1cos12cotcos1sinsincos1cos1cos12an2cos12cos2cos12sin−=+=−+±=+=−=+−±=+±=−±=　　　　　　　　　　　　　　t2tan12tan2tan2tan12tan1cos2tan12tan2sin2222aaaaaaaaa−=+−=+=4·多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz−=∂∂−=∂∂=⋅−∂∂−∂∂=−==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=，　　，　隐函数＋，　　，　　隐函数隐函数的求导公式：　　　　时，，当　　　　　　　　：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：　　　全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂===　　　　　　　　　　　隐函数方程组：·多元函数的极值及其求法：=−−−=====　　　　　　　不确定时值时，　　　　　　无极为极小值为极大值时，则：　　，令：设,0202)0,0(,0)0,0(,002)0,0(,)0,0(,)0,0(0)0,0()0,0(BACBACyxAyxABACCyxyyfByxxyfAyxxxfyxyfyxxf5·常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112+++++=++++−−=++++−·级数审敛法：散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUu∞→+∞→∞→+++=====lim;3111lim2111lim1211ρρρρρρρρ。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(+∞→+≤≤=≥+−+−+−+−nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu·绝对收敛与条件收敛：∑∑∑∑≤−+++++++++时收敛１时发散ｐ　　级数：　　收敛；　　级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn6·幂级数：0010)3(lim)3(1111111221032=+∞=+∞===≠==+++++≥−++++++++∞→RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散时，收敛于　　ρρρρρ·函数展开成幂级数：+++′′+′+===−+=+−++−′′+−=∞→++nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ·一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin)11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞−∞+−−+−+−=−++−−++−++=+−−xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm　　　　　　7·微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。　　得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy−=∴=++====+====+=′∫∫)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(ϕϕϕ·一阶线性微分方程：)1,0()()(2))((0)(,0)()()(1)()()(≠=++=≠===+∫∫∫∫−−nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：·全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP=∴=∂∂=∂∂=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(·二阶微分方程：时为非齐次0)(时为齐次0)(，)()()(22≠≡=++xfxfxfyxQdxdyxPdxyd·二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：）的通解出（的不同情况，按下表写、根据式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中∗∆′′′=++∆=+′+′′2121,3,)(2,,(*)202)(1,0(*)rrrryyyrrqprrqpqyypyr1,r2的形式(*)式的通解两个不相等实根)04(2−qpxrxrececy2121+=两个相等实根)04(2=−qpxrexccy1)(21+=一对共轭复根)04(2−qp242221pqpirir−=−=−=+=βαβαβα，，)sincos(21xcxceyxββα+=8