高等数学公式大全

整理文档很辛苦,赏杯茶钱您下走!

免费阅读已结束,点击下载阅读编辑剩下 ...

阅读已结束,您可以下载文档离线阅读编辑

资源描述

1·等价无穷小·常用泰勒展开·高阶导数:·导数公式:·高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv+++−−++′′−+′+==−−−=−∑·中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理。时,柯西中值定理就是当柯西中值定理:拉格朗日中值定理:xxFfaFbFafbfabfafbf=′′=−−−′=−)(F)()()()()()())(()()(ξξξaxxaaaxxxxxxxxxxtaxxln1)(logln)(cotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)an(22=′=′⋅−=′⋅=′−=′=′222211)cot(11)an(11)(arccos11)(arcsinxxarcxxarctxxxx+−=′+=′−−=′−=′()()()()()()()()()()()()[]()()()nxnnnxnxnnnxnaxanxaxenxenxnxnxnx)1()!1(111ln11!111ln2coscos2sinsin+−−−=+++−=+•==•+=•+=ππ()exuxxxxxxxxxxxxxxaxxaxaxxxexxxxxxxxxuaxx=+−+−−−−+−−−+1333321lim~1)1(61~arcsin61~sin31~tan21~sintanln~)1(logln~121~cos1~1~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin()()()!)1()2)(1()(o!3)2)(1(!2)1(11)(o111)!2()1()(o!41!211cos)!12()1()(o!51!31sin)1()(o3121)1ln(!1)(o31211e33213322442125531x11332332nnaaaaxxaaaxaaaxxxxxxxxxnxxxxxnxxxxxnxxxxxxxnxxxxaxnnnnnnnnx+−−−∑=+−−+−++=+∑=++++=−−∑=++−=+−∑=++−=−∑=++−=+∑=++++=+≤≤−−2·基本积分表·三角函数的有理式积分:∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫+±+=±+=+=+=+−=⋅+=⋅+−==+==CaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxxdxxCxdxxxCxxdxxdxCxtxdxxdxxx)ln(lncsccotcscsectanseccotcscsinanseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxaxadxCxxxdxCxxxdxCxxdxCxxdxt+=−+−+=−++−=−+=++−=++=+=+−=∫∫∫∫∫∫∫∫arcsinln21ln21arctan1cotcsclncsctanseclnsecsinlncotcoslnan22222222222212211cos12sinududxxtguuuxuux+==+−=+=, , , 3·三角函数公式:·和差角公式:·和差化积公式:·倍角公式:·万能公式:·反三角函数性质:arcctgxarctgxxx−=−=2arccos2arcsinππ   ·半角公式2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα−+=−−+=+−+=−−+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαcotcot1cotcot)cot(tan1tantan)(ansinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(±⋅=±⋅±=±=±±=±tamtαααααααααααααα222222tan1tan22tancot21ot2cotsincossin211cos22coscossin22sin−=−=−=−=−==cxxxxxxxxeeeechxshxthxeechxeeshx−−−−+−==+=−=:2:2:双曲正切双曲余弦双曲正弦ααααααααααααααααααcos1sinsincos1cos1cos12cotcos1sinsincos1cos1cos12an2cos12cos2cos12sin−=+=−+±=+=−=+−±=+±=−±=              t2tan12tan2tan2tan12tan1cos2tan12tan2sin2222aaaaaaaaa−=+−=+=4·多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz−=∂∂−=∂∂=⋅−∂∂−∂∂=−==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=,  , 隐函数+,  ,  隐函数隐函数的求导公式:    时,,当        :多元复合函数的求导法全微分的近似计算:   全微分:0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂∂∂⋅−=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂===           隐函数方程组:·多元函数的极值及其求法:=−−−=====       不确定时值时,      无极为极小值为极大值时,则:  ,令:设,0202)0,0(,0)0,0(,002)0,0(,)0,0(,)0,0(0)0,0()0,0(BACBACyxAyxABACCyxyyfByxxyfAyxxxfyxyfyxxf5·常数项级数:是发散的调和级数:等差数列:等比数列:nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112+++++=++++−−=++++−·级数审敛法:散。存在,则收敛;否则发、定义法:时,不确定时,级数发散时,级数收敛,则设:、比值审敛法:时,不确定时,级数发散时,级数收敛,则设:别法):—根植审敛法(柯西判—、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUu∞→+∞→∞→+++=====lim;3111lim2111lim1211ρρρρρρρρ。的绝对值其余项,那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理:—的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,(+∞→+≤≤=≥+−+−+−+−nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu·绝对收敛与条件收敛:∑∑∑∑≤−+++++++++时收敛1时发散p  级数:  收敛;  级数:收敛;发散,而调和级数:为条件收敛级数。收敛,则称发散,而如果收敛级数;肯定收敛,且称为绝对收敛,则如果为任意实数;,其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn6·幂级数:0010)3(lim)3(1111111221032=+∞=+∞===≠==+++++≥−++++++++∞→RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时,时,时,的系数,则是,,其中求收敛半径的方法:设称为收敛半径。,其中时不定时发散时收敛,使在数轴上都收敛,则必存收敛,也不是在全,如果它不是仅在原点 对于级数时,发散时,收敛于  ρρρρρ·函数展开成幂级数:+++′′+′+===−+=+−++−′′+−=∞→++nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式:充要条件是:可以展开成泰勒级数的余项:函数展开成泰勒级数:ξ·一些函数展开成幂级数:)()!12()1(!5!3sin)11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞−∞+−−+−+−=−++−−++−++=+−−xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm      7·微分方程的相关概念:即得齐次方程通解。,代替分离变量,积分后将,,,则设的函数,解法:,即写成程可以写成齐次方程:一阶微分方称为隐式通解。  得:的形式,解法:为:一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程:uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy−=∴=++====+====+=′∫∫)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(ϕϕϕ·一阶线性微分方程:)1,0()()(2))((0)(,0)()()(1)()()(≠=++=≠===+∫∫∫∫−−nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP,、贝努力方程:时,为非齐次方程,当为齐次方程,时当、一阶线性微分方程:·全微分方程:通解。应该是该全微分方程的,,其中:分方程,即:中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP=∴=∂∂=∂∂=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(·二阶微分方程:时为非齐次0)(时为齐次0)(,)()()(22≠≡=++xfxfxfyxQdxdyxPdxyd·二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:)的通解出(的不同情况,按下表写、根据式的两个根、求出的系数;式中的系数及常数项恰好是,,其中、写出特征方程:求解步骤:为常数;,其中∗∆′′′=++∆=+′+′′2121,3,)(2,,(*)202)(1,0(*)rrrryyyrrqprrqpqyypyr1,r2的形式(*)式的通解两个不相等实根)04(2−qpxrxrececy2121+=两个相等实根)04(2=−qpxrexccy1)(21+=一对共轭复根)04(2−qp242221pqpirir−=−=−=+=βαβαβα,,)sincos(21xcxceyxββα+=8

1 / 8
下载文档,编辑使用

©2015-2020 m.777doc.com 三七文档.

备案号:鲁ICP备2024069028号-1 客服联系 QQ:2149211541

×
保存成功