初二四边形综合提高练习题(附详解)

试卷第1页，总3页初二四边形综合提高练习题（附详解）1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求AB,AC的长；（2）求证：AE=DF；（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.2．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E=60°，AC=43,求菱形ABCD的面积．3．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45º.△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到，连接BE，CF相交于点D.（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ABDF是菱形时，求CD的长.4．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，AB上，点M在BA的延长线上，且CE=BF=AM，过点M，E分别作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，连接NF．（1）求证：DE⊥DM；（2）猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．试卷第2页，总3页5．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A1B1C1O的一个顶点，如果这两个正方形全等，正方形A1B1C1O绕点O旋转．（1）求两个正方形重叠部分的面积；（2）若正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，求A与C1的距离．6．在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（备注：在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半）（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．7．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．（1）求证：AE=EF．（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”其余条件不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立，请你证明这一结论，若不成立，请你说明理由．试卷第3页，总3页8．已知□OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上，O为坐标原点，直线x=2分别与x轴和OC边交于D、E，直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F、G．（1）如图，在点A、C移动的过程中，若点B在x轴上，①直线AC是否会经过一个定点，若是，请直接写出定点的坐标；若否，请说明理由．②□OABC是否可以形成矩形？如果可以，请求出矩形OABC的面积；若否，请说明理由．③四边形AECG是否可以形成菱形？如果可以，请求出菱形AECG的面积；若否，请说明理由．（2）在点A、C移动的过程中，若点B不在x轴上，且当□OABC为正方形时，直接写出点C的坐标．9．如图，矩形ABCD中，AB=9，AD=4．E为CD边上一点，CE=6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．（1）求AE的长；（2）当t为何值时，△PAE为直角三角形？（3）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案第1页，总4页参考答案1．（1）AB=5，AC=10.（2）证明见解析；（3）能，当t=103时，四边形AEFD为菱形．（4）当t=52秒或4秒时，△DEF为直角三角形.【解析】（1）设AB=x,则AC=2x.由勾股定理得，(2x)2-x2=(5)2,得x=5，故AB=5，AC=10.（2）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF．（3）能．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=5，∴AC=10．∴AD=AC-DC=10-2t．若使□AEFD为菱形，则需AE=AD，即t=10-2t，t=.即当t=时，四边形AEFD为菱形．（4）①∠EDF=90°时，10-2t=2t，t=．②∠DEF=90°时，10-2t=t，t=4．③∠EFD=90°时，此种情况不存在．故当t=秒或4秒时，△DEF为直角三角形.2．（1）证明见解析；（2）菱形ABCD的面积为83试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD.；又∵BE=AB，∴BE=CD.∵BE∥CD,∴四边形BECD是平行四边形.（2）∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE.∴∠ABO=∠E=60°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD,OA=OC.∴∠BOA=90°，∴∠BAO=30°.∵AC=43,∴OA=OC=23.∴OB=OD=2.∴BD=4.∴菱形ABCD的面积=114348322ACBD3．（1）证明见解析；（2）22－2试题解析：（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，∴∠BAC+∠3=∠EAF+∠3，即∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中答案第2页，总4页{ABACBAECAFAEAF＝＝＝∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF．（2）∵四边形ABDF是菱形，∴AB∥DF，∴∠ACF＝∠BAC＝45°．∵AC=AF，∴∠CAF＝90°，即△ACF是以CF为斜边的等腰直角三角形，∴CF＝22．又∵DF=AB＝2，∴CD＝22－2．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．4．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAM=90°，在△DCE和△MDA中，，∴△DCE≌△MDA（SAS），∴DE=DM，∠EDC=∠MDA．又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，∴∠ADE+∠MDA=90°，∴DE⊥DM；（2）解：四边形CENF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB=CD．∵BF=AM，∴MF=AF+AM=AF+BF=AB，即MF=CD，又∵F在AB上，点M在BA的延长线上，∴MF∥CD，∴四边形CFMD是平行四边形，∴DM=CF，DM∥CF，∵NM⊥DM，NE⊥DE，DE⊥DM，∴四边形DENM都是矩形，∴EN=DM，EN∥DM，∴CF=EN，CF∥EN，∴四边形CENF为平行四边形．5．（1）1；（2）10解：解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB∵BO⊥AC，∴∠AOE+∠EOB=90°，又∵四边形A1B1C1O为正方形，∴∠A1OC1=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF，又S△AOE=S△BOF∴S两个正方形重叠部分=SABO=S正方形ABCD=×4=1；（2）如图，∵正方形的面积为4，∴AD=AB=2，∵正方形A1B1C1O旋转到B1在DB的延长线时，∴C1F=OC1=1，AG=1∴C1G=3，根据勾股定理，得AC1=．6．（1）、证明见解析；（2）、t=10；（3）、t=152或12，理由见解析.答案第3页，总4页试题解析：（1）、∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，∴AB=12AC=12×60=30cm∵CD=4t，AE=2t，又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，∴DF=12CD=2t∴DF=AE（2）、能。∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10∴当t=10时，AEFD是菱形（3）、若△DEF为直角三角形，有两种情况：①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=152。②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，则AE=2AD，即2t=2（60-4t），解得：t=12。综上所述，当t=152或12时，△DEF为直角三角形试题解析：（1）证明：取AB的中点G，连接EG∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠DCG=90°∵点E是边BC的中点∴AM=EC=BE∴∠BGE=∠BEG=45°∴∠AGE=135°，∵CF平分∠DCG，∴∠DCF=∠FCG=45°，∴∠ECF=180°－∠FCG=135°，∴∠AGE=∠ECF∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠CEF=90°，又∵∠AEB+∠GAE=90°，∴∠GAE=∠CEF，在△AGE和△ECF中，∠GAE=∠CEF，AG=CE，∠AGE=∠ECF∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF（2）证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连结ME，∴BM=BE∴∠BME=45°∴∠AME=135°.∵CF是外角平分线，∴∠DCF=45°.∴∠ECF=135°.∴∠AME=∠ECF.∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF.∴△AME≌△ECF（ASA).∴AE=EF.8．（1）①是，定点（3，0），②可以，12，③可以，3；（2）（4，2）或（4，-2）答案第4页，总4页试题解析：（1）①根据题意得：∠ADO=∠CFB=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA∥BC，OA=BC，∴∠AOD=∠CBF，在△AOD和△CBF中，∴△AOD≌△CBE（AAS），∴OD=BE=2∴OB的中点坐标为（3，0）∴直线AC是经过一个定点（3，0）②可以易证∠OCF=∠CBF，得∠OCB=90°，由OABC是平行四边形得OABC是矩形，在RtΔOCB中，CF2=BF×OF=2×4=8∴CF=∴SΔOCB=×6×=∴S矩形OABC=③可以，3（2）（4，2）或（4，-2）9．(1)5；(2)6或23；(3)296.试题解析：（1）∵矩形ABCD中，AB=9，AD=4，∴CD=AB=9，∠D=90°，∴DE=9﹣6=3，∴AE=222234DEAD=5；（2）①若∠EPA=90°，t=6；②若∠PEA=90°，22226t459t﹣﹣，解得t=23．综上所述，当t=6或t=23时，△PAE为直角三角形；（3）假设存在．∵EA平分∠PED，∴∠PEA=∠DEA．∵CD∥AB，∴∠DEA=∠EAP，∴∠PEA=∠EAP，∴PE=PA，∴2226t49t﹣﹣，解得t=296．∴满足条件的t存在，此时t=296.考点：四边形综合题．