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圆的有关性质第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究考点聚焦回归教材中考预测圆的定义定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径定义2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测弦连接圆上任意两点的________叫做弦直径经过圆心的弦叫做直径弧圆上任意两点间的部分叫做弧优弧大于半圆的弧叫做优弧劣弧小于半圆的弧叫做劣弧线段第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测考点2点和圆的位置关系如果圆的半径是r，点到圆心的距离是d，那么点在圆外⇔________点在圆上⇔________点在圆内⇔________drd=rdr第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测考点3确定圆的条件及相关概念确定圆的条件不在同一直线的三个点确定一个圆三角形的外心三角形三边________的交点，即三角形外接圆的圆心防错提醒锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部垂直平分线第26讲┃圆的有关性质考点4圆的对称性考点聚焦归类探究回归教材中考预测圆既是一个轴对称图形又是一个________对称图形，圆还具有旋转不变性．中心第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测考点5垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径______，并且平分弦所对的两条弧推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧总结简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他的结论也成立平分弦第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测考点6圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的______相等，所对的______相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等弧弦第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测考点7圆周角圆周角定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角定理一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的________推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________相等的圆周角所对的弧______推论2半圆(或直径)所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是________三角形一半相等直角直径直角相等第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测考点8圆内接多边形圆内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆圆内接四边形的性质圆内接四边形的______对角互补第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测考点9反证法定义不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法步骤(1)假设命题的结论不正确，即提出与命题结论相反的假设(2)从假设的结论出发，推出矛盾(3)由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定原命题的结论正确第26讲┃圆的有关性质探究一确定圆的条件命题角度：1.点与圆的位置关系；2.确定圆的圆心、半径；3.三角形的外接圆的概念和性质．考点聚焦归类探究回归教材中考预测归类探究10或8例1[2012·资阳]直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________．第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；②当两条直角边长分别为16和12时，则直角三角形的斜边长＝162＋122＝20，因此这个三角形的外接圆半径为10.综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.第26讲┃圆的有关性质(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．(2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．考点聚焦归类探究回归教材中考预测第26讲┃圆的有关性质探究二垂径定理及其推论命题角度：1.垂径定理的应用；2.垂径定理的推论的应用．考点聚焦归类探究回归教材中考预测例2[2013·徐州]如图28－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P.若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为()A．10B．8C．5D．3图28－1C第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝12CD＝12×8＝4.在Rt△OCP中，∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝PC2＋OP2＝42＋32＝5.第26讲┃圆的有关性质垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．考点聚焦归类探究回归教材中考预测第26讲┃圆的有关性质探究三圆心角、弧、弦之间的关系例3如图28－2，已知AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE.∠BOC＝40°，那么∠AOE＝()A．40°B．60°C．80°D．120°命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．图28－2B⌒⌒⌒第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析根据圆心角与弧的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．∵BC︵＝CD︵＝DE︵，∠BOC＝40°，∴∠BOE＝3∠BOC＝120°，∴∠AOE＝180°－∠BOE＝60°.第26讲┃圆的有关性质探究四圆周角定理及推论例4[2012·湘潭]如图28－3，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝()A.20°B.40°C.50°D.80°命题角度：1.利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；2.直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．图28－3D第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析先根据弦AB∥CD得出∠ABC＝∠BCD＝40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80°.第26讲┃圆的有关性质(1)圆周角定理为圆周角与圆心角的角度转换提供了根据；(2)在圆上，如果有直径，则直径所对的圆周角是直角；(3)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．考点聚焦归类探究回归教材中考预测第26讲┃圆的有关性质探究五与圆有关的综合运用例六[2012·湘潭]如图28－4，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC＝AB，点P在半圆弧AB上运动(不与A，B两点重合)，过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC；(2)当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图②中画出△PCD，并说明理由；(3)如图③，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．命题角度：圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识综合．图28－4第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测解析(1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A＝∠P.(2)由△PCD∽△ABC，可知当PC＝AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等；(3)由∠ACB＝90°，AC＝12AB，可求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等得∠P＝∠A＝60°，通过证△PCB为等边三角形，由CD⊥PB，即可求出∠BCD的度数．第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测解∵AB为直径，∴∠ACB＝∠D＝90°.又∵∠CAB＝∠DPC，∴△PCD∽△ABC.(2)如图，当点P运动到PC为直径时，△PCD≌△ABC.理由如下：∵PC为直径，∴∠PBC＝90°，则此时D与B重合，∴PC＝AB，CD＝BC，故△PCD≌△ABC.第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测解(3)∵AC＝12AB，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°.∴∠CPB＝∠CAB＝60°.∵PC⊥AB，∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°，∴△PBC为等边三角形．又CD⊥PB，∴∠BCD＝30°.第26讲┃圆的有关性质垂径定理的应用教材母题北师大版九下P99例1回归教材考点聚焦归类探究回归教材中考预测如图28－5，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD︵，点O是CD︵的圆心)，其中CD＝600m，E为CD︵上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m．求这段弯路的半径．图28－5第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测解：连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF＝(R－90)m.∵OE⊥CD，∴CF＝12CD＝12×600＝300(m)．根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋(R－90)2.解这个方程，得R＝545.所以，这段弯路的半径为545m.第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测中考预测某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图28－6是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．图28－6第26讲┃圆的有关性质考点聚焦归类探究回归教材中考预测解(1)如图．(2)如图，过O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，∵OC⊥AB，∴BD＝12AB＝12×16＝8(cm)．由题意可知，CD＝4cm.设半径为xcm，则OD＝(x－4)cm.在Rt△BOD中，由勾股定理得OD2＋BD2＝OB2，即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10.即这个圆形截面的半径为10cm.