2019苏教版特征值和特征向量.ppt

2.5特征值与特征向量复习回顾1．矩阵的行列式为,若有则矩阵存在逆矩阵.bcdabcdaadbcb0cdabcda2.矩阵是否可逆的判断几何解释行列式代数解释映射观点3.逆矩阵的求解几何变换方法待定系数方法公式法行列式方法．abcddbadbcadbccaadbcadbc4.矩阵的逆矩阵为复习回顾xbDDDccnyambamdnd若记，，yDDDDxxy则axbymcxdyn5.设线性方程组为复习回顾6.用逆矩阵解决二元一次方程组的求解过程:axbymcxdynXB,yxmabAncd记：，则AXBA-1左乘1XAB得到1d-badcadcA-caadcadcbbbb其中复习回顾巩固练习1、若矩阵M对应的变换是关于原点对称的反射变换，则矩阵M-1=______________;10012.已知矩阵M=,则矩阵M不存在逆矩阵的充要条件为_____________;dcbaad-bc=03.将二元一次方程组，写成矩阵方程的形式为___________________;0143012yxyx114321yx学习目标:1.掌握特征值与特征向量定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义；2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量；3.利用矩阵M的特征值,特征向量给出Mnα的简单表示；10010a【探究】1、计算下列结果：10001b0,0ab以上的计算结果与的关系是怎样的？2、计算下列结果：0,0ab以上的计算结果与的关系是怎样的？10020a10002b0a0b0a02b例题分析10102.MABCOx矩阵表示一个压缩变换，它把下图中的正方形沿轴垂直压缩为原来的一半10111100002M.10向量和变换后分别与它们的原象共线01100001111022M工程技术中的一些问题如振动问题和稳定性问题常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题也都要用到特征值的理论引例:在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中，其中我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y恰巧是输入x的倍，即；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系.xynnnnnnnnyyyyxxxxaaaaaaaaaA2121212222111211,,4312A31xxAxy531515531431252xxAxy269524312例如，对系统，若输入则若输入，则所以，给定一个线性系统A，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数多少？这显然是控制论中感兴趣的问题.M＝为矩阵M的特征值,为矩阵M的属于特征值的特征向量.特征值及特征向量的定义10111100002M100001111022M一、特征值与特征向量的概念定义1:设Ａ为二阶矩阵,若对于实数λ，存在一个非零向量，使得A(1)则称λ为Ａ的一个特征值，称为Ａ的属于特征值λ的一个特征向量.-32A=-22-32A-22AA2,2,,124221212212例如设存在使得称是的一个特征值,是的属于特征值的一个特征向量.一、特征值与特征向量的概念定义1:设Ａ为二阶矩阵,若对于实数λ，存在一个非零向量，使得A(1)则称λ为Ａ的一个特征值，称为Ａ的属于特征值λ的一个特征向量.从几何上看特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上.这时，特征向量或者方向不变（λ0），或者方向相反（λ0）.特别地，当λ=0时，特征向量被变换成了0向量.abcd设是矩阵A=的一个特征值，它的一个xy特征向量为则xxAyy即满足方程组xyaxbyxcxdyy()0(*)()0axbycxdy故因，所以xy不全为0，此时Dx=0、Dy=0则D=0即0abcd0建构数学abcd设矩阵A＝，∈R，我们把行列式称为A的特征多项式.2()()abfadadbccd分析表明，如果是矩阵A的特征值，则f()0此时，将代入方程组(*)，得到一组非零解00xy即为矩阵A的属于的一个特征向量00xy数学运用例1、求出矩阵A=的特征值和特征向量1001总结求二阶矩阵特征值与特征向量的步骤：思考能否从几何变换的角度直接观察出矩阵A的特征向量？其几何意义是什么？如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数t，t也是矩阵A的属于特征值的特征向量.【定理1】属于矩阵的同一个特征值的特征向量共线.属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线.【定理2】属于矩阵的不同特征值的特征向量有何关系？思考：注解1:1.特征值问题只针对方阵而言；2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量,即一个特征值对应多个特征向量；3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征向量不能属于不同的特征值．示例1求矩阵的特征值和特征向量.2561A数学应用求特征值和特征向量的一般步骤：（1）由求出所有特征值；（2）求解线性方程组（为特征值），则所得非零解X必为特征向量.同步归纳0)(0)({ydcxbyxaf()0注解2：（1）不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量只对应一个特征值.（2）矩阵的特征向量是在变换下的“不变量”；（3）变换的几何意义:只改变其特征向量的长度不改变其方向！例2A32.22求矩阵的特征值和特征向量求解；代入方程、第三步分别把21数学应用解：第一步A的特征多项式为)1)(2(24)2)(3(2223)(2f第二步由f(λ)=0，得A的特征值λ1=-2，λ2=10)(0)({ydcxbyxa1、根据下列矩阵对应的变换，写出它的特征值与特征向量：（1）矩阵A=的特征值为_________,则相应的特征向量为_______________;1001（2）矩阵B=的特征值为_________,则相应的特征向量为_______________;1003（3）矩阵C=的特征值为_________,则相应的特征向量为_______________;10111,110,011,310,01101练一练2、求出下列矩阵的特征值与特征向量：41211A）（10012B）（20013C）（练一练5.已知x,y∈R，向量是矩阵的属于特征值-2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.1101yxA（15江苏高考）1,0211另一特征值A.,23,1232M.42121Mee试求矩阵的一个特征向量分别为，属于特征值，有两个特征值已知矩阵_;__________,01,112011.321为则其对应的特征值分别为有两个特征向量，分别已知矩阵eeM1,26261M练一练概念的引入.AAA10212153311021－已知矩阵－，＝，求，－－－A212153311021－－－－－A1010212153311021－－－－－AAA109()1111A9A821011122112121,,1eeaaee使，，有且只有一对实数内的任一向量那么对于这一平面内两个不共线的向量，是同一平面如果、平面向量基本定理：21212211.,2yyxxyxyx＝＋则＝、向量知识回顾新课讲解：已知向量10,01,3121ee求实数m,n，使21enem【定义】设矩阵M＝abcd，是矩阵M的属于特征值的任意一个特征向量，则nnM（*nN）建构数学【性质】设1、2是二阶矩阵M的两个不同特征值，1、2是矩阵A的分别属于特征值1、2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量，设1122tt，则nM＝111222nntt建构数学任意向量都可以用特征向量来表示.501212MM.217例、已知＝，＝，试计算数学运用12111001103A,.0121(1)AA.(2)A3,AA.ijxy－－－例、若矩阵有特征向量和且它们所对应的特征值分别为＝，＝－求矩阵及其逆矩阵求逆矩阵的特征值和特征向量；（）对任意向量＝求及20A01＝-110A201＝.,,3,83111,5638.550321212121MMeeeeM请利用这一表达式计算显然有）对向量（一个特征向量的、，以及分别属于，有两个特征值已知矩阵练一练.,,,3821005nMMM计算）对向量（2479315311)3(35683)3(.133231321330eMeMeeMM51505150500)3(58)3(68.2M2211nnnM解题提示：利用公式；及其逆矩阵）求矩阵（，的一个特征值分别为，且它们所对应，有特征向量若矩阵-121211121001.6MMeeM的特征值及特征向量；）求逆矩阵（12M;3100nMMyx，，求）对任意向量（练一练课堂小结将直观观察特征值与特征向量和利用特征多项式来解特征值与特征向量结合起来考虑，互相验证，这也是数学研究的一种常用思路和方法，用形的直观探索解题的道路，用数的严谨求解问题！作业：P73