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第一章动态分析的数学基础本章主要介绍与Romer的高级宏观经济学直接相关的数学基础，主要包括动态系统、动态昀优化原理。第一节动态系统基本理论一、基本概念（一）基本概念变量为导数的方程称为微分方程。如果方程只有一个变量，则被称为常微分方程（ODE），否则，称为偏微分方程。ODE的阶是方程中昀高阶导数的阶数，如一个ODE的昀高阶导数为n阶，则称它是一个n阶ODE。当方程的函数关系是线性时，就称为线性ODE。如果方程涉及到多个变量的微分方程组，并且被解释变量为时间，我们称该方程组为动态系统。经济学中大量的问题涉及的都是经济现象在时间上的演变特征，动态系统成为分析这类问题的有力工具。此时，微分方程都涉及到变量对时间的导数。如：1a)(ty＋2a)(ty＋)(tx＝0（1）方程中1a和2a是常数，)(tx为已知的关于时间的函数，)(ty描述了变量在不同时点的状态，称为状态变量，若)(ty是向量则为状态向量。由于1a和2a是常数，称方程为常系数一阶线性方程。假定方程（1）中变量关于时间是连续的，称为连续时间微分方程或连续系统（CS）；如果变量对时间的关系不是连续的，而是用离散时间来描述，称为离散方程或离散系统（DS），相应地与（1）相对应的离散系统表示为：1a1+ty＋2aty＋tx＝0（2）微分方程根据是否显含时间分为自控方程和非自控的两种类型。如果微分方程不显含时间变量，则称微分方程是自控的，否则称为非自控的。方程（1）中，若)(tx＝3a为一常数，则（1）就是自控的，经济学中涉及到的宏观动态系统基本上主要是这类自控模型。进一步，若)(tx＝0，则方程（1）称为齐次方程，简称齐次的。动态微分方程研究的主要问题是解的存在性和如何具体求出具体的动态路径。不是所有的微分方程都能求解，本节主要讨论的是可求解的常微分方程。通过方程的解确定的)(ty的动态路径，称为方程或系统的流（Flow）。直观上，系统的流是与系统的初始值（简称初值）和参数是相关的。对离散方程（2），2我们很容易验证这一点。假定：)1(+ty＝f()(ty,t,α)两边减去)(ty，得到：)(tyΔ＝)1(+ty－)(ty＝f()(ty,t,α)－)(ty)(tyΔ衡量了)(ty在每一步的移动情况，箭头表示)(ty在每一步的移动方向，沿着箭头的方向，就可以构造出系统的轨道。yy2y)(ty=f(y(t))1yy(t)0ytt图2离散时间的解轨道图3连续时间的解轨道动态方程或动态系统一般都有无数的解，所有这些解的集合称为系统的通解。通解中每个特解对应状态变量（向量）在空间中的不同轨道，而我们往往对其中的若干特解感兴趣，因此，需要对通解加上适当的附加条件，也就是通常的初始条件（InitialCondition）。显然，每个轨道都依赖于初值和开始移动的时间。)0(y＝0y有了初值条件，就可以确定一条具体的解的轨道。当然，初值条件不是确定动态系统解的唯一方法，更一般的是利用所谓的边界条件：)(0ty＝0y（3）来确定状态向量y，其在0t∈〔0，∞+)时刻的取值为给定点0y，但0t不一定等于0。动态系统加边界条件一起称为边值问题，通常边值问题有唯一解。需要指出的是，在经济学中将初值问题和其它类型的边值条件分开是必要的，因为对许多经济变量选择其昀原始的初始边界可能是毫无意义的，同时在进行经济分析与决策时，有时我们希望边界条件能反映所需的期望信息和相关的均衡选择。（二）稳态性质微分方程一般都有无数个解，这些解的动态性质是收敛的或是发散的，对经济现象是非常重要的，有一类特殊的解—常数解在分析动态系统的渐近行为时具有重要的作用。我们给出相关的定义。定义1.1.1定常状态或定态（不动点、休止点或均衡）动态系统的常数3解称为系统的定态（StationaryState）。在离散系统中，)1(+ty＝g()(ty)，若y∈Y是g()的不动点(FixedPoint)，即若存在y=g(y)，则称点y为定态。对于连续系统，y=f(y)，若存在y∈Y满足f(y)=0，则称点y为定态。给定状态向量或变量的定态，自然就要涉及到定态点的稳定性，也就是当系统在休止点附近受到冲击时，系统能否回到均衡点。正式地：定义1.1.2稳定性令y是系统（CS）y=f(y)的非孤立的定常状态，若对任意给定ε0，存在某个实数δ∈(0,ε]，若对某个0t，yty−)(0≺δ⇒∀t≥0t，yty−)(≺ε，则称y是系统（CS）的稳定均衡。若对在某点进入)(yBδ的任意解)(ty有，∞→tlim)(ty=y，则称y是渐近稳定。下面我们结合图4对定常状态的稳定性进行直观说明。yf(y)1y2y3yyy≺0图4纯量连续系统的相图显然，图4有3个定常状态1y、2y和3y，对1y，当y位于附近右侧时，y≺0，y递减，使得y不断从右侧向1y靠拢。相反，当y位于附近左侧时，y0，y递增，同样使得y不断从左侧向1y靠拢。昀终都将收敛于1y。对2y，当y位于附近右侧时，y0，y递增，使得y不断从右侧远离2y。相反，当y位于附近左侧时，y≺0，y递减，同样使得y不断从左侧远离2y。昀终都将远离于2y。对3y，同样可以分析具有与1y的性质，是系统的局部稳定点。由此有如下定理：定理1.1.3稳态定理纯量方程y=f(y)的定常状态是稳定的充要条件是：若存在某个δ0，使得y属于以y为中心的某个邻域，即y∈)(yBδ，有：(y－y)f(y)≺04若存在某个δ0，使得对(y-δ,y+δ)中所有y，有：(y－y)f(y)0则y是不稳定的。定理1.1.4线性展开的局部稳定性假设f是一阶连续可微函数，令y是方程（CS）y=f(y)的定常解，且)(yf′≠0，若)(yf′≺0，则是渐近稳定的；若)(yf′0，则y是不稳定的。定理1.1.4隐含的含义是：若)(yf′≠0，则在定常状态某个邻域内y与)(yf′保号。证明思路：f(y)在y线性展开，并利用定理1.1.3证明。（三）求解方法下面我们讨论微分方程的求解问题，求解方法主要包括图形法、解析法和数值分析，数值分析一般要借助熟悉软件，如Matlab，这里主要讨论前两种方法。1、图形法考虑一个如下形式的自控微分方程：)(ty＝f()(ty)（4）其中f是已知函数，既可以是线性的，也可以不是线性的。为了利用图形求解，我们将f看作是关于y的函数，并以横轴表示y的大小，纵轴则代表f()和y，由于y是y关于时间的导数，所以当y0时，y值是递增的；当y≺0时，y值则递减。为了说明这一点，考虑一个简单的线性形式：)(ty＝f()(ty)＝a)(ty-b其中a和b都是常数。若a0，f()的图形是一条具有正斜率的直线，且在∗y＝b/a处与横轴相交，如图5.a。若在某个时刻t=0t，)(0ty＝∗y处于稳态水平，则)(ty＝0，所以，)(ty不随时间的变化而变化，由此推断)(ty永远停留在∗y上，即达到稳态。但是，若)(0ty不处于稳态值上，要么)(0ty∗y，或者)(0ty≺∗y。若)(0ty∗y，则)(0ty处于∗y的右侧，)(ty0，)(0ty随时间推移而不断增长；5若)(0ty≺∗y，则)(0ty处于∗y的左侧，)(ty≺0，)(0ty随时间推移而不断减小。总之，只要初始值)(0ty≠∗y，)(ty将远离稳态。yyy不稳定y稳定y不稳定稳定y∗y∗y∗y图5.a线性ODE的不稳定的稳态图5.bODE的稳定的稳态图5.c非线性ODE稳态若a≺0，可进行类似的分析，此时，f()的图形是一条具有负斜率的直线，且在∗y＝b/a处与横轴相交，如图5.b。同样，若在某个时刻t=0t，)(0ty＝∗y处于稳态水平，则)(ty＝0，)(ty也不随时间的变化而变化，)(ty永远停留在∗y上，即达到稳态。但是，若)(0ty不处于稳态值上，若)(0ty∗y，)(0ty处于∗y的右侧，)(ty≺0，)(0ty随时间推移而趋于减小；若)(0ty≺∗y，则)(0ty处于∗y的左侧，)(ty0，)(0ty随时间推移而不断增加，这样，只要初始值)(0ty≠∗y，)(ty总是向∗y靠近。图5.c描述的是非线性函数的动态，该函数有两个稳态，可以分析其中一个是稳定的，一个是不稳定的。上述从几何的角度对稳态稳定性的判断虽然很直观，但是如果应用稳态定理1.1.3，则更为简单。对情形a，容易判断在∗y的某个邻域，有：(y－∗y)f(y)0因此，∗y是不稳定的。同样，对情形b，也存在以∗y为中心的某个邻域，有：(y－∗y)f(y)≺0因此，∗y是稳定的。对情形5.c，邻域分析法更为合适一些，如在原点的某个邻域有：(y－∗y)f(y)0，而在∗y的某个邻域则是：(y－y)f(y)≺0，因此，前者是不稳定的，后者则6是稳定的。2、解析解：常系数一阶线性微分方程微分方程除了线性情形，一般不能够得出微分方程的闭式解，所以微分方程的中心任务是讨论解的存在性和解的性质。这里，我们主要关心的是线性微分方程的求解问题，对于各种情形的常微分方程的求解，《动态经济学方法》（龚六堂）提供了一个简洁全面的介绍，下面主要以一个例子讨论常微分方程的求解问题。常系数一阶线性ODE的一般形式为：)(ty+ay(t)+x(t)=0其中a是一个常数，x(t)是一已知的时间函数，对这一方程的昀简单解法步骤如下。第一，把所有涉及y及其导数的项放在方程的一边，把其余项放在另一边：)(ty+ay(t)=-x(t)第二，两边同乘以ate并积分：[()()]ateytaytdt+∫=-dttxeat)(∫ate项被称为积分因子。之所以乘上积分因子原因是这样左边积分号内的项就变成了atey(t)对时间的导数：(dtd)[atey(t)+0b]=ate[)(ty+ay(t)]（4）其中0b是一任意常数。注意(4)式左边的积分是某个函数的导数的积分，因而它就等于这个函数本身。因此该式左边的项的原函数等于atey(t)+0b。第三，计算(4)式右边的积分，记住要加上另一个常数项1b。注意这个积分是一个t的函数，我们仍用x(t)+1b表示。由于x(t)是一个已知的时间函数，所以x(t)也是一个已知的时间函数。第四，两边同乘以ate−以得到y(t)：y(t)＝－ate−x(t)＋bate−（5）其中b=1b-0b是一任意常数。（5）式就是ODE的通解。考虑微分方程：)(ty-y(t)-1=0（6）为解这个方程，我们遵循以上勾画出的步骤。首先，把所有涉及y(t)及其导7数的项放到方程的左边，所有其他项放到右边。然后两边同乘以并积分：dttytyet)]()([−∫−=dtet∫−上式左边积分号内的项是te−y(t)+0b的时间导数，因此左边的积分就等于te−y(t)+0b。右边等于-te−+1b。因此，(6)式的解为：y(t)＝－1＋bte（7）其中b=1b-0b是一任意常数。(7)式中的结果是(6)的通解；为了得到特解或精确解，我们还必须具体说明积分的任意常数b。为了确定在无限多条可能路径中哪一条适用，我们需要知道至少一个时点上的y(t)值。这一边界条件将确定出微分方程的惟一解。图6表示了对以(7)式为例的ODE的一组解。为在其中进行选择，假定我们已知当t=0时，y(t)=0，此时的边界条件也就是初始条件。将t=0时，y(0)=0代入（7）式中得到y(0)=－1＋b0e＝0，这意味着b=1，因此方程的特解为：y(t)＝－1＋tey(t)时间-1图6微分方程的解如果我们不知道函数的初始值，而是知道它在某一终结时期的值，也就是说我们可以有终端条件，同样可以得到一个具体路径。3、可变系数的一阶线性微分方程对于微分方程)(ty+a(t)y(t)+x(t)=0（8）如果a(t)不再是一个常数，而是一个已知的时间函数。我们仍可采用前面的步骤。区别在于现在的积分因子是∫tdae0)(νν，所以左边变成了y(t)∫tdae0)(νν的导数。8同样当我们对函数的导数积分时，我们还是回到了原函数。利用这一信息，我们发现ODE的解：y(t)＝-∫−tdae0)(ννdttxetda)(0)(∫∫νν＋b∫−tdae0)(νν（9）其中b是一个任意的积分