平面向量的数量积练习题(含答案)

平面向量的数量积A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·辽宁)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于()A．－1B．－12C.12D．12．(2012·重庆)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于()A.5B.10C．25D．103．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A.79，73B.－73，－79C.73，79D.－79，－734．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→等于()A．－32B．－23C.23D.32二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________.7．已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分)8．(10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n)(n1)，a与b的夹角是45°.(1)求b；(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.9．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB→·BC→＝1，则BC等于()A.3B.7C．22D.232．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．23．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2等于()A．2B．4C．5D．10二、填空题(每小题5分，共15分)4．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→·AF→＝2，则AE→·BF→的值是________．6．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|，则AM→·AN→的取值范围是________．三、解答题7．(13分)设平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α360°)，b＝－12，32.(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．平面向量的数量积参考答案A组专项基础训练1.答案D解析a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1⇒x＝1.2．答案B解析∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2.由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2.∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)．∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝32＋－12＝10.3．答案D解析设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②联立①②解得x＝－79，y＝－73.4．答案D解析由于AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cos∠BAC＝12(|AB→|2＋|AC→|2－|BC→|2)＝12×(9＋4－10)＝32.二、填空题(每小题5分，共15分)5．答案32解析∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|cos45°＝22|b|，|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.6．答案－16解析如图所示，AB→＝AM→＋MB→，AC→＝AM→＋MC→＝AM→－MB→，∴AB→·AC→＝(AM→＋MB→)·(AM→－MB→)＝AM→2－MB→2＝|AM→|2－|MB→|2＝9－25＝－16.7．答案(－∞，－6)∪－6，32解析由a·b0，即2λ－30，解得λ32，由a∥b得：6＝－λ，即λ＝－6.因此λ32，且λ≠－6.三、解答题(共22分)8．解(1)a·b＝2n－2，|a|＝5，|b|＝n2＋4，∴cos45°＝2n－25·n2＋4＝22，∴3n2－16n－12＝0，∴n＝6或n＝－23(舍)，∴b＝(－2,6)．(2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5.又c与b同向，故可设c＝λb(λ0)，(c－a)·a＝0，∴λb·a－|a|2＝0，∴λ＝|a|2b·a＝510＝12，∴c＝12b＝(－1,3)．9．解∵e1·e2＝|e1|·|e2|·cos60°＝2×1×12＝1，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te21＋7te22＋(2t2＋7)e1·e2＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7.由已知得2t2＋15t＋70，解得－7t－12.当向量2te1＋7e2与向量e1＋te2反向时，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ0，则2t＝λ，λt＝7⇒2t2＝7⇒t＝－142或t＝142(舍)．故t的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)．B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1．答案A解析∵AB→·BC→＝1，且AB＝2，∴1＝|AB→||BC→|cos(π－B)，∴|AB→||BC→|cosB＝－1.在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cosB，即9＝4＋|BC|2－2×(－1)．∴|BC|＝3.2．答案A解析a·b为向量b的模与向量a在向量b方向上的投影的乘积，得a·b＝|b||a|·cos〈a，b〉，即－12＝3|a|·cos〈a，b〉，∴|a|·cos〈a，b〉＝－4.3．答案D解析∵PA→＝CA→－CP→，∴|PA→|2＝CA→2－2CP→·CA→＋CP→2.∵PB→＝CB→－CP→，∴|PB→|2＝CB→2－2CP→·CB→＋CP→2.∴|PA→|2＋|PB→|2＝(CA→2＋CB→2)－2CP→·(CA→＋CB→)＋2CP→2＝AB→2－2CP→·2CD→＋2CP→2.又AB→2＝16CP→2，CD→＝2CP→，代入上式整理得|PA→|2＋|PB→|2＝10|CP→|2，故所求值为10.二、填空题(每小题5分，共15分)4．答案2解析利用向量数量积的坐标运算求解．a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0，∴m＝－12.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝2.5．答案2解析方法一坐标法．以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)，E(2，1)，F(x,2)．故AB→＝(2，0)，AF→＝(x,2)，AE→＝(2，1)，BF→＝(x－2，2)，∴AB→·AF→＝(2，0)·(x,2)＝2x.又AB→·AF→＝2，∴x＝1.∴BF→＝(1－2，2)．∴AE→·BF→＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝2.方法二用AB→，BC→表示AE→，BF→是关键．设DF→＝xAB→，则CF→＝(x－1)AB→.AB→·AF→＝AB→·(AD→＋DF→)＝AB→·(AD→＋xAB→)＝xAB→2＝2x，又∵AB→·AF→＝2，∴2x＝2，∴x＝22.∴BF→＝BC→＋CF→＝BC→＋22－1AB→.∴AE→·BF→＝(AB→＋BE→)·BC→＋22－1AB→＝AB→＋12BC→BC→＋22－1AB→＝22－1AB→2＋12BC→2＝22－1×2＋12×4＝2.6．答案[1,4]解析利用基向量法，把AM→，AN→都用AB→，AD→表示，再求数量积．如图所示，设|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|＝λ(0≤λ≤1)，则BM→＝λBC→，CN→＝λCD→，DN→＝CN→－CD→＝(λ－1)CD→，∴AM→·AN→＝(AB→＋BM→)·(AD→＋DN→)＝(AB→＋λBC→)·[AD→＋(λ－1)CD→]＝(λ－1)AB→·CD→＋λBC→·AD→＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM→·AN→取得最大值4；当λ＝1时，AM→·AN→取得最小值1.∴AM→·AN→∈[1,4]．三、解答题7．(1)证明∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－14＋34＝0，故向量a＋b与a－b垂直．(2)解由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得3|a|2＋23a·b＋|b|2＝|a|2－23a·b＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋43a·b＝0，而|a|＝|b|，所以a·b＝0，即－12·cosα＋32·sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°，k∈Z，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，又0°≤α360°，则α＝30°或α＝210°.