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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书论文编号：B02008013我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：天津商业大学参赛队员(打印并签名)：1.叶恒扬2.冯冰冰3.朱文博指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：安建业（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2014年9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：-1-创意平板折叠桌摘要创意平板折叠桌以巧妙的条状机构设计、精致的外观造型受到许多消费者的青睐，市场需求潜力巨大。因此，设计并研制创意独特的平板折叠桌具有重要的现实意义。本文主要综合运用几何学、运筹学、工业设计、计算机软件等知识，通过建立数学模型来研究平板折叠桌动态变化特性，进一步设计出相应的创意作品。针对问题一，通过分析折叠桌的结构特性，根据直纹曲面生成原理，建立了描述木条动态变化的参数方程模型（见公式(1)），然后利用Mathematica4.0程序（见附录1）模拟得到了不同折叠角度下折叠的桌状态模拟图（见图3）。在此基础上，建立了计算桌腿木条长度、开槽位置与描述桌脚边缘线的数学模型（见公式(2)~(4)），并利用Matlab程序（见附录2）求出了每个木条的长度与开槽位置见下表（由对称性知只需考虑10条即可）：利用Mathematica4.0程序（见附录3）绘制了桌脚边缘线的几种状态曲线（见图4）。模拟结果与实际情况完全吻合，验证了模型的正确性。针对问题二，为了满足任意给定折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，从桌子不易侧翻这一影响其稳固的重要因素出发，利用最外侧两桌脚连线在桌面的投影恰好与圆形桌面边缘相切给出了求平板尺寸长的公式（见公式(5)）；然后以所有桌腿木条开槽长度的总和最小为目标，以便于加工、节约成本等因素为约束条件，建立了确定钢筋位置、开槽长度的非线性优化模型（见公式(6)）；并利用lingo程序（见附录4）求得桌高70cm，直径80cm的折叠桌的最优设计加工参数为：平板尺寸161.24cm×80cm，钢筋位置在最外侧木条距其端点41.25cm处，每根木条的开槽长度见下表：针对问题三，基于问题一与问题二的建模思想，为尽可能满足客户对桌子形状的要求，我们将桌面边缘线、平板材料边缘线设为任意函数1()fy与2()fy，首先，建立了求解折叠桌最优设计加工参数的数学模型（见公式(7)-(10)）；然后，设计了桌面边缘线及平板材料边缘线分别为正弦曲线与半圆、半圆与直线、直线与半圆这3种创意折叠桌，并运用所建模型，借助于lingo程序（见附录5）求出了每款折叠桌的设计加工尺寸，利用Mathematica4.0程序（见附录6-8）分别绘制了每款折叠桌的8张动态变化过程模拟示意图（见图10-12）。模型的主要优点是给出了满足客户对桌面边缘线与平板材料边缘线任意要求的一般模型，实用范围广；同时给出了模拟设计图形程序，具有较大的应用价值。【关键字】折叠桌，直纹曲面，优化模型，lingo软件，模拟编号12345678910长度18.0017.6217.0216.1715.0413.6211.849.606.620起点30.0030.0030.0030.0030.0030.0030.0030.0030.0030.00终点48.0047.6247.0246.1745.0443.6241.8439.6036.6230.00编号12345678长度39.3739.0338.4537.6336.5735.2633.6931.86编号910111213141516长度29.7427.3224.5821.4817.9613.929.060.00-2-一、问题的提出与重述随着科技的高速发展，创新成为了我国出现频率比较高的词，也是我国企业强大需要发展的一种理论。经市场调查，现在某公司已经可以生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面[1]构成，造型美观。为此，需要建立数学模型讨论如下问题：问题一给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上求此折叠桌的设计加工参数，并给出桌脚边缘线的数学描述。问题二对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，为使折叠桌稳固性好、加工方便、用材最少，如何确定平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等折叠桌的最优设计加工参数？并就高70cm，桌面直径80cm的折叠桌确定其最优设计加工参数。问题三如果公司计划开发一种折叠桌设计软件，并根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，那么请给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型设计几个创意平板折叠桌（给出设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图）。二、基本假设1.假设木条与木条之间没有空隙，且不影响桌子的折叠过程；2.假设在整个计算过程中都以木条的中线为基准，不考虑木条宽度在带来的误差；3.假设平板材料的厚度对折叠桌的性能没有影响。三、主要变量的符号说明为了便于描述问题，本文将问题中涉及的主要变量用下列符号来表示(如下表1所示)，其他变量将在文中用到时陆续说明。表1主要变量符号说明一览表符号表示的意义L木板的长度W木板的宽度R圆形桌面的半径h折叠桌折叠稳定后桌子的最终高度l最外侧的木条钢筋固定点到桌面铰点的距离il第i个木条的长度w木条的宽度-3-续表in第i个木条开槽的长度i平板桌面的中心和第i根木条铰点连线与x轴正方向的夹角两外侧木条与钢筋形成的平面与桌面的夹角x直纹曲面上点的横坐标y直纹曲面上点的纵坐标z直纹曲面上点的竖坐标四、问题分析桌子外形由直纹曲面构成，每根木条上的链接桌面的绞点和钢筋固定点可以唯一求出，把每根木条可以看成曲面的子午线，利用子午线法求出每根木条的动态变化过程方程，再利用Mathematica软件模拟出直纹曲面。就问题一而言，要定量描述折叠桌的动态变化过程，需要选择参照物建立空间直角坐标系，通过空间曲线、曲面方程来加以描述。由于用来连接桌腿木条的钢筋不能弯曲始终与形成的桌面平行，固定钢筋的最外侧的两根木条在折叠过程中又始终保持平行，而两两平行的直线可以确定一个平面，在整个折叠过程中此平面与桌面形成的夹角不断变化，且不同木条又是角的函数，因此建立关于、的参数方程即可描述直纹曲面的动态变化过程。为此，首先通过选取木条与桌面的绞点和木条与钢筋的接触点这两点的坐标建立空间直线的参数方程；然后利用Mathematica编程就可以画出桌脚边缘线的在不同状态下的轨迹；另外由于每根木条的开槽长度又取决于折叠桌子的起始位置和终止位值钢筋所滑过的距离，基于这些性质即可建立相应的设计加工参数求解的数学模型，并利用空间几何知识和Matlab编程求得结果。就问题二而言，桌面直径已知，由用材最少的约束条件可以得出长方体平板材料的宽与桌面直径相等为80厘米。折叠桌的重心在一定范围内越低越稳定（也就是最外侧木条与桌面的夹角值在一定范围内越小），但是由于桌子的高度一定，为了使材料最省就需要值尽可能的大，两种情况综合考虑，我们对值取了临界值，即最外侧的两根木条的着地端点的连线在xoy平面的投影恰好与桌面相切。再用模型一建模思想以钢筋位置为变量，以开槽总长度最短为目标函数建立非线性优化模型，用lingo编程求解得出钢筋的位置，继而借用模型一的求解方法求出开槽长度。就问题三而言，在问题一和问题二建模思想的基础上，为了尽可能满足客户对桌子形状的要求，可以将桌面边缘线、平板材料边缘线设为任意函数，建立求解折叠桌最优设计加工参数的数学模型。然后根据桌面边缘线和平板材料边缘线为不同的函数，就可以设计不同的创意折叠桌，并求出每款折叠桌的设计加工尺寸，绘制出相应的动态变化过程模拟示意图。五、模型的建立与求解为叙述的方便起见，首先对几个名词的具体含义加以说明：○1起始状态指的是桌子处于平板时候的状态；○2最终状态指的是平板形成稳定桌子的状态；○3铰点指的是木条与桌面的连接点；-4-○4接点指的是钢筋与木条接触时的交点。1.问题一建模和求解(1)建立直角坐标系如图1所示以长方形的中心为原点，以平行长边方向为x轴方向，沿平行短边方向为y轴，以桌面法线向上为z轴建立空间直角坐标系oxyz.在满足假设的情况下，我们把长方形平板的宽近似作为圆形桌面的直径为50cm，根据问题一可知每根木条宽w=2.5cm，所以长方形平板在xoy平面第1象限的部分就可以分成n=10份，即在桌子折叠过程中总共有20根长短不同的木条。考虑到木板是中心对称图形，我们取木板在xoy平面第1象限的部分区域进行分析即可。为此，对每根木条进行编号，最靠近x轴的木条编号为1，依次向y轴方向编号为2,3，…，直到最外边木条编号为10。图1空间坐标系示意图(2)描述木条动态变化的模型与模拟如图2中所示，当最外侧桌腿木条绕桌面转动的角度为时，第i根木条与圆形桌图2部分参数示意图面的铰点M的坐标为(cossin0)iiRR,,，而与连接木条的钢筋的接点N的坐标为(sinsin2/coslRdli，，)，故得第i根木条所在空间直线MN的参数方程模型：xyzoxyMoMNφ-5-cos(coscos-/2)sin(1)siniiixRtRldyRztl其中t为比例因子，d为第10号木条与同侧木条之间的距离（由于桌面为圆形，所有这里取0d），i的取值范围为[,]22，的取值范围为10[0,]hl，当101.08hl时，桌子达到了最终状态。根据公式（1），利用Mathematica4.0编程（见附录1），绘制了以下6幅旋转角度不同时折叠桌状态模拟示意图如下图3所示。-50050-20020-1-0.500.51-50050-20020-50-2502550-20020-20-100-50-2502550-20020(a)旋转弧度为0时的状态图(b)旋转弧度为20时的状态图-50-2502550-20020-30-20-100-50-2502550-20020-50-2502550-20020-40-30-20-100-50-2502550-20020(c)旋转弧度为10时的状态图(d)旋转弧度为5时的状态图-40-20