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直线的参数方程教学目标：1.联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．3.通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,xy之间的联系．教学方式：启发、探究、交流与讨论.教学手段：多媒体课件．教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫教师提出问题：1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．2.直线的方向向量的概念．3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．5.如何建立直线的参数方程？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．1二、直线参数方程探究1．回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为t，那么：①OA为数轴的单位方向向量，OA方向与数轴的正方向一致，且OMtOA；②当OM与OA方向一致时（即OM的方向与数轴正方向一致时），0t；当OM与OA方向相反时（即OM的方向与数轴正方向相反时），0t；当M与O重合时，0t；③||OMt．教师用几何画板软件演示上述过程．【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．2.类比分析，异曲同工问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下2结论：选取直线l上的定点0M为原点，与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0时)或向右（l的倾斜角为0时）的单位向量e确定直线l的正方向，同时在直线l上确定进行度量的单位长度，这时直线l就变成了数轴．于是，直线l上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．3.选好参数，柳暗花明问题（1）：当点M在直线l上运动时，点M满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l当成数轴后，直线l上点M运动就等价于向量0MM变化，但无论向量怎样变化，都有0MMte．因此点M在数轴上的坐标t决定了点M的位置，从而可以选择t作为参数来获取直线l的参数方程．【设计意图】明确参数．问题（2）：如何确定直线l的单位方向向量e？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出(cos,sin)e，从而明确直线l的方向向量可以由倾斜角来确定．当0时，sin0，所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．34.等价转化，深入探究问题：如果点0M,M的坐标分别为00(,)(,)xyxy、，怎样用参数t表示,xy？教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：因为(cos,sin)e，（[0,)），00000(,)(,)(,)MMxyxyxxyy，0//MMe又，所以存在实数tR，使得0MMte，即00(,)(cos,sin)xxyyt．于是0cosxxt，0sinyyt，即0cosxxt，0sinyyt．因此，经过定点00(,)Mxy，倾斜角为的直线的参数方程为sincos00tyytxx（t为参数）．教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数t的取值范围是什么？③参数t的几何意义是什么？总结如下：①00,xy，是常量，,,xyt是变量；②tR；③由于||1e，且0MMte，得到0MMt，因此t表示直线上的动点M到定点0M的距离．当0MM的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t；当0MM的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t；当0t时，点M与点0M重合．【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．4三、运用知识，培养能力例1.已知直线:10lxy与抛物线2yx交于A,B两点，求线段AB的长度和点(1,2)M到A,B两点的距离之积．先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：解法一：由210xyyx，得210(*)xx．设11(,)Axy，22(,)Bxy,由韦达定理得：121211xxxx，．2212121()42510ABkxxxx．由（*）解得12151522xx，，12353522yy，．所以15351535(,)(,)2222AB，．则222215351535(1)(2)(1)(2)2222MAMB353542．解法二、因为直线l过定点M，且l的倾斜角为34，所以它的参数方程是31cos432sin4xtyt（t为参数），即212222xtyt（t为参数）．把它代入抛物线的方程，得2220tt，解得12102t，22102t．由参数t的几何意义得：1210ABtt，122MAMBtt．在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进5行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．探究：直线sincos00tyytxx（t为参数）与曲线()yfx交于12,MM两点，对应的参数分别为12,tt．（1）曲线的弦12MM的长是多少？（2）线段12MM的中点M对应的参数t的值是多少？先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：12121MMtt（），1222ttt（）【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．例2、经过点(2,1)M作直线l，交椭圆221164xy于A,B两点．如果点M恰好为线段AB的中点，求直线l的方程．分析：引导学生以M作为直线l上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B两点对应的参数分别为12,tt，则由120tt求出直线l的斜率．教师板书，过程如下：解：设过点(2,1)M的直线l的参数方程为2cos1sinxtyt（t为参数），代入椭圆方程，整理得22(3sin1)4(cos2sin)80t．因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B两点对应的参数分别为12,tt，则1224(cos2sin)3sin1tt．因为点M为线段AB的中点，所以1202tt，即cos2sin0．6于是直线l的斜率1tan2k．因此，直线l的方程是11(2)2yx，即240xy．教师引导学生课下用其他方法解决．思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l的方程怎样求？由学生课下解决．【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用．四、自主解决，深入理解已知过点(2,0)P，斜率为43的直线和抛物线22yx相交于A,B两点，设线段AB的中点为M，求点M的坐标．本题由学生独立完成，教师补充完善．解：设过点(2,0)P的直线AB的倾斜角为，由已知可得：3cos5，4sin5．所以，直线的参数方程为32545xtyt（t为参数）．代入22yx，整理得2815500tt．中点M的相应参数是1215216ttt，所以点M的坐标是413(,)164．【设计意图】注重知识的落实，通过问题的解决，使学生进一步理解所学知识．五、归纳总结，提升认识先让学生从知识、思想方法以及对本节课的感受等方面进行总结．教师在学生总结的基础上再进行概括．1．知识小结本节课联系数轴、向量等知识，推导出了直线的参数方程，并进行了简单应用，体会了直线参数方程在解决有关问题时的作用．2．思想方法小结在研究直线参数方程过程中渗透了运动与变化、类比、数形结合、转化等数学思想．7【设计意图】对学习内容有一个整体的认识，培养归纳、概括能力．六、布置作业，巩固提高1.教材P39—1,3；2.思考题：若直线l的参数方程为btyyatxx00（ba,为常数，t为参数），请思考参数t的意义．【设计意图】使学生进一步巩固所学知识，加深对知识的理解，为学有余力的学生提供思考的空间．七、板书设计教案设计说明本节课研究了直线的参数方程，并进行了简单的应用．本节课注重知识的产生过程，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．在教学过程中渗透运动与变化、数形结合、类比、转化等数学思想，关注学生的参与和知识的落实．本节课选择直线的参数方程的参数是比较困难的，这是因为从确定直线的几何条件较难联想到“距离”．因此在教学中除了复习预备知识以外，还复习了数轴．联系数轴上点的坐标的几何意义，类比得到平面直角坐标系中的任意一条直线都可以当成数轴，这样直线上任意一点就可以用坐标t表示，因此可以选择坐标t为直线参数方程中的参数．从而，建立直线的参数方程就转化为建立坐标t与坐标00,xy及倾斜角之间关系的问题．这样设计既注重了知识的产生过程，又使学生深刻理解了参数的几何意义．在教学过程中，注重以教师为主导，学生为主体的教学模式．在实施教学和完成教学目标的过程中，适时将学生分组讨论、师生对话、学生动手、学生归纳小结等方式服务于“参数方程”知识的重点和难点的教学中，充分体现了以人为本，鼓励全体学生参与以及重视学法指导的教学新理念．本节课恰当地利用多媒体辅助教学，增强了教学中的直观性．直线的参数方程1.直线的参数方程3.例题分析2.弦长公式