2.2.1-综合法和分析法-课件(人教A版选修1-2)

栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习推理合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）例:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法也叫顺推法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…1、综合法：综合法是由一个个推理组成的特点：由因导果栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明例：求证：3725证明：因为都是正数，3725和所以为了证明3725只需证明22(37)(25)展开得1022120即215只需证明2125，因为2125成立，所以不等式成立。3725栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法也叫逆推法。特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.1QP23PP12PP得到一个明显成立的结论…2，分析法栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明2．2.1综合法和分析法栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明新知初探思维启动综合法和分析法综合法分析法定义利用_________和某些数学_______、________、________等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从_________的结论出发，逐步寻求使它成立的___________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、________、_______、_______等)，这种证明方法叫做分析法已知条件定义公理定理推理论证要证明充分条件定理定义公理栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明综合法分析法框图表示(P表示___________、已有的_______、_______、________等，Q表示____________________P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q已知条件定义公理定理所要证明的结论栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明综合法分析法特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明想一想1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明2.分析法是把所要求证的结论当作已知条件来推理吗？提示：分析法并不是把所要求证的结论当作已知条件来推理，而是寻求使结论成立的充分条件．栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明做一做1.以下命题中正确的是()A．综合法是执果索因的逆推法B．综合法是由因导果的顺推法C．综合法是因果互推的两头凑法D．综合法就是举反例答案：B栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明2.要证明3＋725可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法B．分析法C．类比法D．归纳法解析：选B.从数据来看，宜用分析法．栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明分析基本不等式：(a0,b0)的证明.a+bab2证明:因为;所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2证明:要证;只需证;只需证;只需证;因为;成立所以成立a+bab22a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2还原成综合法：栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明题型一综合法的应用典题例证技法归纳题型探究例1已知x＋y＋z＝m.求证：x2＋y2＋z2≥m23.栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明【证明】∵x＋y＋z＝m，∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝m2.又∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2xz.∴2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)，即x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx，∴m2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤3(x2＋y2＋z2)．∴x2＋y2＋z2≥m23.栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明互动探究1.已知a＋b＋c＝6.求a2＋b2＋c2的最小值．解：由本例的结论知a2＋b2＋c2≥623＝12，当且仅当a＝b＝c＝2时，“＝”成立，∴a2＋b2＋c2的最小值为12.栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明题型二分析法的应用【思路点拨】题目条件适合使用分析法证明不等式，只需要注意分析法证明问题的格式即可．(本题满分9分)设a，b为实数．求证：a2＋b2≥22(a＋b)．例2栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明名师微博分类讨论是关键！【证明】当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立.2分当a＋b0时，用分析法证明如下：要证a2＋b2≥22(a＋b)，3分只需证(a2＋b2)2≥22（a＋b）2，5分栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.6分∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立.7分∴a2＋b2≥22(a＋b)成立.8分综上所述，不等式得证．栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明变式训练2.当x≥4时，证明：x－1－x－2x－3－x－4.证明：当x≥4时，欲证x－1－x－2x－3－x－4，只需证x－1＋x－4x－3＋x－2，即证(x－1＋x－4)2(x－3＋x－2)2，展开得2x－5＋2x－1·x－42x－5＋2x－3·x－2，栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明即（x－1）（x－4）（x－3）（x－2），只需证[（x－1）（x－4）]2[（x－3）（x－2）]2，即证x2－5x＋4x2－5x＋6，即46，这显然成立．∴当x≥4时，x－1－x－2x－3－x－4.栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明题型三综合法与分析法的应用△ABC的三个内角A，B，C成等差数列．求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.例3【证明】法一：要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也即ca＋b＋ab＋c＝1.栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列，∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°.即b2＝c2＋a2－ac，c2＋a2＝ac＋b2，此式即分析中欲证之等式，即原式得证．法二：∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列，∴B＝60°.栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，得c2＋a2＝ac＋b2，两边同时加ab＋bc得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，两边除以(a＋b)(b＋c)得ca＋b＋ab＋c＝1，∴ca＋b＋1＋ab＋c＋1＝3，即1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明备考例题1.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋2)，当x1时，f(x)单调递增，如果x1＋x22且(x1－1)(x2－1)0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明解析：选B.由f(－x)＝－f(x＋2)知函数y＝f(x)关于点(1，0)对称．由(x1－1)(x2－1)0知x1－1，x2－1异号，不妨设x11，则x21.∵x1＋x22，∴x12－x2.由x21知2－x21，故x12－x21.∴f(x1)f(2－x2)，∵f(2－x2)＝－f(x2)，∴f(x1)－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)0.栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明2.已知函数f(x)＝12x，a，b∈(0，＋∞)，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A，B，C的大小关系为________．栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明解析：∵a0，b0，∴a＋b2≥ab.∴2aba＋b≤1，∴2aba＋b≤ab.又f(x)＝12x在(0，＋∞)上为减函数，故有fa＋b2≤f(ab)≤f2aba＋b.答案：A≤B≤C栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明3.已知△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明：∠B为锐角．证明：(综合法)由题意：2b＝1a＋1c＝a＋cac，则b＝2aca＋c，∴b(a＋c)＝2ac，∵a＋cb，∴b(a＋c)＝2acb2.∴cosB＝a2＋c2－b22ac≥2ac－b22ac0.栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明又y＝cosx在(0，π)上单调递减，且cosπ2＝0，∴0∠Bπ2，即∠B为锐角．(分析法)要证明∠B为锐角，只需证cosB0，又因为cosB＝a2＋c2－b22ac，所以只需证明a2＋c2－b20，即a2＋c2b2，因为a2＋c2≥2ac，所以只需证明2acb2，由已知2b＝1a＋1c，即2ac＝b(a＋c)．所以只需证明b(a＋c)b2，即a＋cb，显然成立，所以∠B为锐角．栏目导引学习导航新知初探思维启动知能演练轻松闯关典题例证技法归纳第二章推理与证明小结：分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中:分析法是从数学