第一讲A-行列式的基本内容和行列式的几种形式

第一讲行列式一、内容提要（一）n阶行列式的定义nnjjjnjnjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaD21212211)(212222111211)1(（二）行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即TDD；2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来；4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零；6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即nmnnininiiiinaaabababaaaaD21221111211，则nnnnininnnnnininaaabbbaaaaaaaaaaaaD211211121121121112117．将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。（三）行列式依行（列）展开1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n阶行列式D中元素ija所在的第i行和第j列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ija的余子式，记为ijM（2）代数余子式的定义ija的代数余子式的记为ijjiijijMAA)1(,2．n阶行列式D依行（列）展开（1）按行展开公式njkjijkikiDAa10（2）按列展开公式niisijsjsjDAa10（四）范德蒙行列式njiijnnnnnnxxxxxxxxxxxD1112112222121)(111（注意其转置行列式）（五）分块行列式若AB与都是方阵（不必同阶）,则==()mnAOAAOABOBOBBOAAABBOBO1（拉普拉斯展开式）三、典型例题行列式的计算1.数字型行列式的计算例1计算行列式nnnnnbaaaaabbbD12321121000000000000000解：由于前n-1行都只有一个元素不为0，由行列式定义知Dn只含一项：b1b2…bn，且符号为,)1()1(2)1(2(),1,,1(nnnn从而nnnnbbbD212)2)(1()1(。例2计算下列行列式（1）6217213424435431014327427246)2(;222bacacbcbacba解（1）：cbacbacbacbacbabacacbcbacba222222222222111)(111)(cbacbacbacbacbacba))()()((bcacabcba（2）6211001000443100200032710010006217211000443543200032742710006217213424435431014327427246555102942940021110327111062111443123271110例3计算下列n阶行列式axaaaaaxaaaaaxaaaaaxDn解1)2]()2([nnaxanxD说明：一定要注意此种形式的行列式；例如：1)]()1([nnxaxnaaxxxxaxxxxaxxxxaD)1()1(01111011110111101nDnn1)1]()1(1[1111nnaanaaaaaaaaaaaaD例4计算n阶行列式),,2,1(00001000100011111321niaaaaaDinn解：))(1(000000000000111112213221nniinniinaaaaaaaaaD例5计算行列式aaaaa4444333322221111。解：aaaaaaaaaaaaD4444333322221010101044443333222211114aaaaaaaa0000000001111)10(4444333322221111)10(3)10(aa例6设行列式2235007022220403D求第四行各元素的余子式之和的值。解：由行列式展开知，D的第四行各元素余子式之和的值为行列式11110070222204031D的值因为将D1接第四行展开得444342411)1()1(AAAAD433442244114)1)(1()1()1)(1(MMM44434241MMMM所以计算1002440437111222043)1)(7(1111007022220403231D284401744437从而D中第四行各元素的余子式之和的值为-28。说明：若求D中第四行各元素代数余子式之和呢？例7计算n阶行列式xyyxyxyxDn000000000000解：将行列式按第一列展开得nnnnnyxyxyxyyxyxyxxD1111)1(0000000)1(0000000)1(说明：请注意这种形式的行列式！2.含参数行列式的计算例8计算行列式311151113D。解：311151101)2(311151202311151113D)6)(3)(2(4125)2(411251001)2(例9计算三阶行列式3241223kkD。解：32110221)1(321102213241223kkkkD2)1)(1(10010221)1(k3．抽象行列式的计算例10设A,B均为n阶方阵，1*2,3,2BABA求解3244222121111111*nnBABABABA