与三角形有关的角讲义

一、知识重点1．三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.(3)理解与延伸：因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．(4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数．【例1】填空：(1)在△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°.2．直角三角形的性质与判定(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()．A．43°B．47°C．30°D．60°(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．【例2－2】如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形．3．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD就是△ABC其中的一个外角．(2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．【例3】在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.4.三角形外角性质(1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)．注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等．【例4】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.5．三角形外角和(1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和．(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.【例5】如图所示．用两种方法说明∠1＋∠2＋∠3＝360°.综合应用【例6－1】在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝__________°.【例6－2】已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，则∠B＝__________，∠C＝__________.【例6－3】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2，那么△ABC是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形【例6－4】锐角三角形的三个内角是∠A，∠B，∠C.如果∠α＝∠A＋∠B，∠β＝∠B＋∠C，∠γ＝∠C＋∠A，那么∠α，∠β，∠γ这三个角中()．A．没有锐角B．有1个锐角C．有2个锐角D．有3个锐角【例7】填空：(1)如图(1)，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝________°.(2)如图(2)所示，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝__________°，∠ABC＝__________°.(3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.【例8－1】如图(1)，将一等边三角形剪去一个角后，∠1＋∠2等于()．A．120°B．240°C．300°D．360°【例8－2】如图，a∥b，则下列式子中值为180°的是()．A．∠α＋∠β－∠γB．∠α＋∠β＋∠γC．∠β＋∠γ－∠αD．∠α－∠β＋∠γ2.运用三角形内角和定理判断三角形形状【例9－1】一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是()．A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【例9－2】在△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，试判断这个三角形的形状．10．角平分线的夹角与三角形内角关系的探究(1)三角形的两内角平分线的夹角与内角的关系1.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC与∠A之间的关系．(2)三角形两外角的平分线的夹角与内角的关系2.如图，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分线，试探究∠BPC与∠A的关系．(3)一个内角平分线与一个外角平分线的夹角与内角的关系3.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，BE是△ABC的外角∠ABD的平分线，试探究∠BEC与∠A的关系．【例10－1】如图，已知△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC与∠A之间的关系．【例10－2】如图，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的两条平分线，∠A＝100°，则∠BOC的度数是()．A．80°B．90°C．120°D．140°【例10－3】如图所示，∠ABC的平分线和△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D，∠D＝30°，∠A的度数是__________；当∠D＝__________时，∠A的度数是90°.11.与三角形有关的角的问题的一题多解例如：如图(1)是由平面上五个点A，B，C，D，E连接而成，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是多少？【例11】如图(1)所示是小亮的爸爸带回家的一种零件示意图，它要求∠BDC＝140°才合格，小明通过测量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小亮解释这是为什么呢？小亮很轻松地说出了原因，你能解释吗？二、综合练习一、选择题1．三角形的三个外角之比为2:3:4，则与之相应的三个内角之比为（）Ａ．2:3:4Ｂ．4:3:2Ｃ．5:3:1Ｄ．1:3:52．如图4，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）Ａ．两点之间直线段最短Ｂ．矩形的稳定性Ｃ．矩形四个角都是直角Ｄ．三角形的稳定性3．如图5，1∠，2∠，3∠，4∠恒满足的关系式是（）Ａ．1234∠∠∠∠Ｂ．1243∠∠∠∠Ｃ．1423∠∠∠∠Ｄ．1423∠∠∠∠4．如图6，123456∠∠∠∠∠∠等于（）5．如图7，在ABC△中，D是AB上的一点，E是AC上一点，BECD，相交于F，70A∠，20ACD∠，28ABE∠，则CFE∠的度数为（）Ａ．62Ｂ．68Ｃ．78Ｄ．906．如图2，以BC为公共边的三角形的个数是（）Ａ．2Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．57．若三条线段中3a，5b，c为奇数，那么由abc，，为边组成的三角形共有（）Ａ．1个Ｂ．3个Ｃ．无数多个Ｄ．无法确定8．如果线段abc，，能组成三角形，那么它们的长度比可能是（）Ａ．1:2:4Ｂ．1:3:4Ｃ．3:4:7Ｄ．2:3:49．不一定能构成三角形的一组线段的长度为（）Ａ．3，7，5Ｂ．3x，4x，50xxＣ．5，5，010aaＤ．2a，2b，10．已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中3样构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形的个数是（）Ａ．5Ｂ．7Ｃ．8Ｄ．10二、填空题11．如图1，ABC∠的平分线交ACB∠的平分线于l，若60A∠，则BIC∠_____．12．一个三角形中最多有_____个内角是钝角，最多可有_____个角是锐角．13．三角形两个外角的和等于第三个内角的4倍，则第三个内角等于_____．14．如图2，ABCDE∠∠∠∠∠_____．15．如图3，1234∠∠∠∠_____．16．两根木棒的长分别为7cm和10cm．要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长x（cm）的范围是______．17．如图1，1234∠∠∠∠______．18．ABC△中，6a，8b，则周长P的取值范围是______．19．abc，，是ABC△中A∠，B∠，C∠的对边，若4a，3b，14c，则的取值范围是______．20．若abc，，为ABC△的三边，则abcabc______0（填“＞，＝，＜”）．三、解答题21．已知，如图8，点D是ABC△中AC边上的一点，点E是BC边延长线上一点，说明：ADBCDE∠∠．22．已知，如图9，ABC△中，ABC∠的平分线与ACE∠的平分线交于D点，若80A∠，求D∠的度数．23．如图10，已知折线ABCDE，且360BCD∠∠∠．说明：ABCD∥．24．已知：如图3，ABCD∥，45B∠，78BED∠，求D∠的度数．25．已知，如图4，ABCD∥，EHAB⊥，垂足为H，若150∠，则E∠为多少度？26．已知，如图5，在ABC△中，O是高AD和BE的交点，观察图形，试猜想C∠和DOE∠之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想．