等比数列详细教案

名师精编优秀教案课题等比数列学习内容与过程复习引入：1．等差数列的定义：na－1na=d，（n≥2，n∈N）奎屯王新敞新疆2．等差数列的两个通项公式：dnaan)1(1(nadmnam)(或na=pn+q(p、q是常数))奎屯王新敞新疆3．几种计算公差d的方法：d=na－1na=11naan=mnaamn奎屯王新敞新疆4．等差中项：,,2babaA成等差数列奎屯王新敞新疆5．数列的前n项和nS：2)(1nnaanS，2)1(1dnnnaSn奎屯王新敞新疆知识点1，2，4，8，16，…，263;①5，25，125，625，…；②1，－81,41,21，…；③对于数列①，na=12n;1nnaa=2（n≥2）奎屯王新敞新疆对于数列②，na=n5;1nnaa=5（n≥2）奎屯王新敞新疆对于数列③，na=1)1(n·121n；211nnaa（n≥2）奎屯王新敞新疆共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数奎屯王新敞新疆1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：1nnaa=q（q≠0）奎屯王新敞新疆｛na｝成等比数列nnaa1=q（Nn,q≠0奎屯王新敞新疆1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q，q≠0)2隐含：任一项00qan且3q=1时，{an}为常数奎屯王新敞新疆例1下面四个数列：（1）1，1,2,4,8,16,32,64；（2）在数列na中，12aa=2,23aa=2；（3）常数列a,a,a,...；（4）在数列na中，1nnaa=q；其中是等比数列的有答案：（4）2.等比数列的通项公式名师精编优秀教案由等比数列的定义，有：qaa12；21123)(qaqqaqaa；312134)(qaqqaqaa；…………………)0(1111qaqaqaannn奎屯王新敞新疆（1）)0(111qaqaann——已知等比数列的首项和公比就可以得出任何一项；（2）mnmnqaa——通项公式的推广式，则已知等比数列的任意两项就可以求出其他的任意一项推广：mnmnmnmnaaqaaq;——求公比q的方法（3）既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．（4）等比定理：q=12aa=23aa=34aa=...=1nnaa=1321432......nnaaaaaaaa（5）等比数列基本量的求法：1a和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出。——mnmnmnmnaaqaaq;；q=nnaa1（6）等比数列与指数函数：11nnqaa，即nnqqaa1,与指数函数xqy类似，可借助指数函数的图像和性质来研究例2求下列各等比数列的通项公式：（1）1a=2,3a=8解：24213qqqaa，nnnnnnaa)2()2)(2(22)2(11或（2）1a=5,且21na=3na解：111)23(5523nnnnaaaaq又：（3）1852aa，963aa，1na，求n（答案;n=6）变式1：求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）22,1,2)4(;,83.21,32，…….解：（1）∵q=515=－3,1a=5∴na=1a1nq=5·（－3）1n名师精编优秀教案∴4a=5·（－3）3=－135，5a=5·（－3）4=405.（2）∵q=2.14.2=2,1a=1.2∴na=1a1nq=1.2×21n∴4a=1.2×23=9.6,5a=1.2×24=19.2（3）∵q=32,4332211a∴na=1a1nq=32×（43）1n∴4a=22×（43）3=329,5a=32×（43）4=12827（4）∵q=1÷222,1a=2∴na=1a1nq=2·（21）1n=2)2(1n∴4a=42)2(1,21)2(1352a.变式2：一个等比数列的第9项是94，公比是－31，求它的第1项.解：由题意得9a=94,q=－31∵9a=1aq8,∴94=1a（－31）8,∴1a=29163.等比数列的性质（1）单调性：当q1,1a0或0q1,1a0时,{na}是递增数列;当q1,1a0,或0q1,1a0时,{na}是递减数列;当q=1时,{na}是常数列;当q0时,{na}是摆动数列;（2）等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G应满足：由定义得GbaG，即：abG；反之，若abG，则GbaG。由此可得：abG（ab0）,,,bGa成等比数列奎屯王新敞新疆注意：由上述公式也可看出异号的两个数没有等比中项，只有同号的才有（3）在等比数列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N)，则qpnmaaaa，特别地，若m+n=2p，则2pnmaaa推广：123121...mnmnnnaaaaaaaa例3已知na为等比数列，若7321aaa，8321aaa，求na（答案：na=12n或n32）变式1：等比数列na的前三项的和为168，4252aa，求75,aa的等比中项（答案：3）变式2：已知na为等比数列，若0na，且362645342aaaaaa，求53aa的值（答案：6）名师精编优秀教案（4）若数列na为等比数列，则数列na（其中为常数）也为等比数列，其公比是q若数列na为等比数列，nb为公比是t的等比数列，则nnba也是等比数列，其公比为tq若数列na为等比数列，na1也是等比数列，其公比为q1（5）若数列na为等比数列，则下标成等差数列且公差为m的项),(,,,...2Nmkaaamkmkk组成了公比为mq的等比数列推广：m，n，p（都为正整数）成等差数列，则pnmaaa,,成等比数列（6）若数列na为等比数列，连续相邻k项的和（或积）构成公比为)(2kkqq或的等比数列，例如maaa...21，mmmaaa221...,mmmaaa32212...，...；21aa，43aa,65aa，...（7）若数列na为各项都是正数的等比数列，数列nalg是公差为qlg的等差数列4.判断一个数列为等比数列的方法（1）定义法：1nnaa=q(常数，n≥2，n∈N）na为等比数列（2）等比中项法，也称递推法：211nnnaaa（n≥2，n∈N，0na）na为等比数列（3）通项法：na为n的指数型函数，即11nqana为等比数列注意：证明一个数列为等比数列只能通过定义法与等比中项法例4：已知无穷数列,...,10,...,10,10515150n求证：（1）这个数列是等比数列；（2）这个数列中的任一项是其后第5项的101变式1：数列na的前n项和记为nS，已知,...)3,2,1(2,111nSnnaann；证明：（1）nSn是等比数列；（2）nnaS41变式2：数列na的前n项和记为nS，且)2(21nSann，21a；求数列na的通项公式名师精编优秀教案5.等比数列的设项方法（1）通项法：设数列的通项公式，即设na=11nqaNn()（2）对称设：主要针对有限项。若所给等比数列为2n项，则可设为：12333212,...,,,,...,,nnnaqaqaqqaqaqaqa，此数列的公比为2q；若所给等比数列为2n+1项，则可设为：121,...,,,...,,nnnaqaqaqaqaqa，此数列的公差为q；（3）等差、等比数列综合运算问题。例5：有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数（答案：3,6,12,18或49,427,445,475）变式：有四个正数，前三个数成等差数列，和为48，后三个数成等比数列，积为8000，,求这四个数6.等比数列应用题例6：有纯酒精)1(aaL，从中取出1L，再用水加满，然后再取出1L，再用水加满，如此反复进行，问第九次和第十次共取出多少L纯酒精？7.等比数列与等差数列的比较等差数列等比数列定义差商项项没有限制项必须非零联系（1）正项等比数列nanalg为等差数列（2）na为等差nab为等比数列例7：已知na是各项都为正数的等比数列，数列nb满足nnnkaaaanblglg...lglg1121，问是否存在正数k，使得nb成等差数列？若存在求出k；不存在说明理由名师精编优秀教案变式1：已知0logloglogzmymxmbaaccb；（1）若a，b，c依次成等差数列且公差不为0，求证x，y，z成等比数列；（2）若x，y，z依次成等比数列，求证a，b，c成等差数列变式2：已知na中，nS是其前n项和，且1,...),2,1(2411anaSnn;（1）设nnnaab21，求数列nb的通项公式（2）在（1）的条件下，设nnnac2，求数列nc的通项公式（3）在（2）的条件下，求数列na的通项公式及nS课堂检测1.已知等比数列na的公比31q，则86427531aaaaaaaa等于（）A.31B.-3C.31D.32.已知na是等差数列，公差0d，且931,,aaa成等比数列，则1042931aaaaaa等于（）A.167B.169C.1611D.16133.一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是（）A.25B.25-1C.52D.21-54.等比数列na中，71134aaa，数列nb是等差数列，且77ab，则95bb=（）A.2B.4C.8D.165.等比数列na中，11109876753,24,3aaaaaaaaa则的值为（）A.48B.72C.144D.192名师精编优秀教案6.等比数列na的各项都是正数，等差数列nb满足67ab，则有（）A.10493bbaaB.10493bbaaC.10493bbaaD.10493bbaa与的大小不确定7.各项均为正数的等比数列na中，若965aa，则1032313log...loglogaaa的值为8.等比数列na中，已知5127aa，则111098aaaa=9.等比数列na中，9,353aa，则此数列的公比为10.各项均为正数的等比数列na中，公比q满足42q，则5443aaaa11.某工厂生产一种产品，原计划今年第一季度的产量逐月增加相同饿件数，但实际生产中，2月份比原计划多生产了10件，3月份比原计划多生产了25件，这样三个月的产量恰好成等比数列，并且3月份的产量只比原计划第一季度总产量的一半少10件，求这个厂第一季度共生产了多少件这种产品？12.数列na中，3,221aa，且1nnaa是以3为公比的等比数列，记)(212Nnaabnnn（1）求6543,,,aaaa的值；（2）求证：nb是等比数列