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第三章流体运动学流体运动学是研究流体运动而不涉及力的规律及其在工程上的应用。凡表征流体运动的各种物理量，如速度、加速度等，都称流体的运动要素。研究流体运动就是研究流体的运动要素随时间和空间的变化以及建立它们之间的关系式。本章暂不涉及引起流体运动的动力要素—力。第一节描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法拉格朗日法欧拉法着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程着眼于空间点，研究质点流经空间各固定点的运动特性是描述液体运动常用的一种方法。连续性介质假定，在流体力学中，组成流体的最小基元是流体质点，将流体视为由无穷多流体质点所组成的一种连续介质。第一节描述流体运动的两种方法：拉格朗日法和欧拉法连续性介质假定，在流体力学中，组成流体的最小基元是流体质点，将流体视为由无穷多流体质点所组成的一种连续介质。要从宏观上研究流体的运动规律，必须在数学上对流体质点的运动特征给出描述。描述流体质点运动，常采用两种方法：拉格朗日法（Lagrange）法和欧拉法（Euler）。一拉格朗日法：拉格朗日法是从分析流体质点的运动着手，设法描述出每一个流体质点自始至终的过程，即它们的位置随时间的变化。拉格朗日法是一种质点系法，是理论力学中质点模型在流体运动上的直接应用，和研究固体质点系的方法是一样的。由于质点是连续分布的，要研究每一个质点的运动，必须用某种数学方法来区分不同的流体质点。通常采用的方法是以起始时刻t=t0时，各质点的空间坐标（a,b,c）作为区别不同质点的标志。由于每一个质点在t=t0时刻的坐标值（a,b,c）不一样，所以每一个质点在任何时刻的空间位置，在直角坐标系中将是a,b,c,t的单值连续函数。式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、b、c代表不同的流体质点。(1)对于某个确定的流体质点，a、b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。(2)对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到某一时刻不同流体质点的位置分布。(3)若（a，b，c）、t均为变数，可得任意流体质点在任何时刻的运动情况，方程式所表达的是任意质点运动的轨迹。通常称a、b、c为自变量，它们和t称为拉格朗日变数。流体质点的速度流体质点的加速度二欧拉法：运动流体占据的空间，称流场。欧拉法以流场为研究对象，以空间点为着眼点。欧拉法是从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。欧拉法又称流场法。采用欧拉法，就可利用场论的知识。如果场的物理量不随时间而变化，为稳定场；随时间而变化，则为非稳定场。在工程流体力学中，将上述的流体运动分别称恒定流和非恒定流。如果场的物理量不随位置而变化，为均匀场；随位置而变化，则为非均匀场。二欧拉法：运动流体占据的空间，称流场。欧拉法以流场为研究对象，以空间点为着眼点。欧拉法是从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。x,y,z都应看作自变量，它们和t一起都被称为欧拉变数。流体质点的加速度由两部分组成，一是由于时间过程而使空间点上的质点速度发生变化的加速度，称当地加速度（或时变加速度）；另一是流动过程中质点由于位置占据不同的空间点而发生速度变化的加速度，称迁移加速度（或位变加速度）。为全加速度，又称随体导数或质点导数，即流体质点速度随时间的变化率。为当地加速度，又称时变导数。为迁移加速度，又称位变导数。工程流体力学中常用欧拉法。（1）在大多数的实际工程问题中，只要知道在通过空间任意固定点时有关的流体质点诸运动要素随时间的变化。（2）在欧拉法中，数学方程的求解较拉格朗日法为易。（3）量测流体运动要素，用欧拉法时可将测试仪固定在指定的空间点上，这种量测方法是容易做到的。拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a,b,c,t）,y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。三迹线流线脉线描述流体运动，除了用数学式表示外，还常用几何图形来表示，即描绘出一些线来表明流体运动的图景。1迹线与拉格朗日法相联系是一个流体质点在一段连续时间内在空间运动的轨迹线，它给出同一质点在不同时刻的速度方向。拉格朗日法，给定（a,b,c）就可以得到以x,y,z表示的该流体质点（a,b,c）的迹线。消去时间t后，即得在直角坐标系中的迹线方程，为一迹线族。给定（a,b,c）就可以得到以x,y,z表示的该流体质点（a,b,c）的迹线。1迹线欧拉法迹线的微分方程或建立迹线方程：迹线微小段ds即代表流体质点在dt时段内的位移，dx,dy,dz代表ds在坐标轴上的投影，所以2流线速度场是矢量场，可以用它的矢线来形象地描述它。在欧拉法中，是以速度场来描述流体运动的。速度场的矢线就是流线。流线是同一时刻不同质点所组成的曲线，它给出该时刻不同流体质点的速度方向。在流线AB上取一微小段ds，速度矢量u与流线微小段ds重合，方向余弦为流线的微分方程流线是指某一指定时刻的曲线，所以时间t不应作为自变量，只能作为一个参变量出现。欲求某一指定时刻的流线，需把t当作常数代入上式，然后进行积分。2流线（1）在一般情况下，流线不能相交，因在相交处将出现两个速度矢量，而每个流体质点在某一时刻只能有一个速度矢量，所以通过一点只能有一条流线。（2）在流场内，速度为零的点（称驻点或停滞点）和速度为无穷大的点（称奇点）以及流线相切的点是例外，通过上述点不只有一条流线。（3）流线亦不能转折，因为转折处同样会出现有两个速度矢量的问题。流体是连续介质，各运动要素在空间是连续3脉线脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互重合。第二节描述流体运动的一些基本概念一流管流束过流断面元流总流在流场中，任意取一非流线且不自相交的封闭曲线。从这封闭曲线上各个点绘出流线，组成封闭管状曲面，称为流管。流管内的流体称为流束。沿流体流动方向，在流束上取一横断面，使它在所有各点上都和流线正交。这一横断面称过流断面。过流断面面积无限小的流束称元流；相应的流管称微元流管。过流断面面积具有一定大小的有限尺寸的流束称总流。总流可以看出是由流动边界内无数元流所组成的总和在元流同一过流断面上各点的运动要素如速度、压强等可认为是相等的。总流同一过流断面上各点的运动要素如速度、压强等不一定相等。二流量断面平均流速单位时间内通过某一过流断面的流体数量称为流量。可以用体积流量、重量流量和质量流量表示，单位分别是m3/s,kN/s,kg/s元流总流二流量断面平均流速断面平均流速是一种设想的流速，即假设总流同一过流断面上各点的速度都相等。以断面平均速度通过的流量等于该过流断面上各点实际速度不相等情况下所通过的流量。第三节流体运动的类型一恒定流和非恒定流按各点运动要素（速度、压强等）是否随时间变化，可将流体运动分为恒定流和非恒定流。各运动要素都不随时间变化的流体运动称为恒定流，速度、压强等可以仅是坐标的函数。空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒定流。二均匀流和非均匀流渐变流和急变流在实际流体运动中，常难于遇到符合上述定义的均匀流。按沿流程各个过流断面上位于同一流线上的点，称相应点的速度（大小、方向）是否相等，可将流体运动分为均匀流和非均匀流。均匀流的所有流线都是平行直线，非均匀流的所有流线不是一组平行直线。按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之，则称为非均匀流。各流线之间的夹角很小，即各流线几乎是平行的，且各流线的曲率半径很大，即各流线几乎是直线的流体运动称为渐变流。所有流线是一组几乎平行的直线，所以渐变流的过流断面可认为是一平面。均匀流是渐变流的极限情况。按各流线是否接近于平行直线，又可将非均匀流分为渐变流和急变流。各流线之间的夹角很大，或者各流线的曲率半径很小的流体运动称为急变流。三有压流（有压管流）、无压流（明渠流）、射流边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为无压流或明渠流。流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流体运动称为射流。按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射流。四三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运动称为三维流或三元流。若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运动称为二维流或二元流。若流体的运动要素仅是空间一个坐标和时间t的函数，这种流体运动称为一维流或一元流。元流同一过流断面上的运动要素可认为是相等的，所以元流中任意点的运动要素只与流程坐标s有关，即为一维流。总流按一维流来分析处理，实际是以总流的过流断面的运动要素平均值来代替该过流断面上各点的运动要素。按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。第四节流体运动的连续性方程一系统控制体流体运动必须遵循质量守恒定律。流体被视为连续介质，质量守恒定律应用于流体运动，在工程流体力学中就称为连续原理，它的数学表达式即为流体运动的连续性方程。在工程流体力学中，系统就是指由确定的流体质点所组成的流体团。如果使用系统来研究连续介质的运动、意味着采用拉格朗日法的观点，以确定的流体质点所组成的流体团作为研究对象。一系统控制体流体系统的边界有以下几个特点：（1）系统的边界随流体一起运动，系统的体积边界面的形状和大小可随时间而变化;（2）在系统的边界处没有质量的交换，即没有流体流进或流出系统的边界;（3）在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力;（4）在系统的边界上可以有能量交换，即可以有能量进入或外出系统的边界。一系统控制体控制体的边界面称为控制面，它总是封闭表面。占据控制体的诸流体质点是随时间而改变的。控制面有以下几个特点（1）控制面相对于坐标系是固定的;（2）在控制面上可以有质量交换，即可以有流体流进或流出控制面;（3）在控制面上受到控制体以外物体加在控制体内物体上的力;（4）在控制面上可以有能量交换，即可以有能量进人或外出控制面。采用欧拉法的观点，引进控制体的概念。被流体所流过的，相对于某个坐标系来讲，固定不变的任何体积称为控制体。二流体运动的连续性微分方程在流场中，取一以任意点M为中心的微小平行六面体为控制体。二流体运动的连续性微分方程流进流出六面体的流体质量之差应等于因密度变化所引起的质量增量在微小时段dt内，从边界面ABCD流入六面体的流体质量为从边界面EFGH流出六面体的流体质量为沿x轴方向流进和流出六面体的流体质量差为上式除以dxdydzdt后可得，可压缩流体的连续性微分方程表达了任何可能实现的流体运动所必须满足的连续性条件，即质量守恒条件。不可压缩均质流体上式即为不可压缩均质流体的连续性微分方程，它适用于恒定流和非恒定流。物理意义：流体的体积变形率为零，即它的体积不会发生变化。以矢量表示为即速度u的散度为零。三总流的连续性方程:微元分析法不可压缩均质流体来讲根据高斯定理对于恒定流来讲，流管的全部表面s包括两端断面和四周侧表面。流管侧表面上un=0即为不可压缩均质流体恒定总流的连续性方程也适用于非恒定有压管在同一时刻的两过流断面。三总流的连续性方程：有限体分析法用有限体分析法，从分析一维流着手，用一维元流分析法来推导出恒定总流的连续性方程。设一恒定总流，取过流断面1-1、2-2为控制面。在上述总流管段内任取一元流段，如图中虚线所