第一章1.1.1集合的含义与表示初中时我们已学习了哪些基本数集?自然数集、整数集、有理数集、实数集等当时是如何给出这些概念的呢?比如:自然数集?思考:自然数的全体组成自然数集如何表示自然数集?在椭圆圈内填上一些自然数,点上三点,在圈下写上“自然数集”,用此形式表示自然数集。初中学过的数集就是今天要学习的集合中的一种(1)1~20以内的所有质数(2)我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星(3)金星汽车厂2003年生产的所有汽车;(4)2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;(5)所有正方形;(6)到直线l的距离等于定长d的所有的点;(7)方程x²+3x-2=0的所有实数根:(8)新华中学2004年9月入学的高一学生的全体。知识探究(一)思考1:上述每个问题都由若干个对象组成,每组对象的全体分别形成一个集合,集合中的每个对象都称为元素.上述4个集合中的元素分别是什么?归纳总结这些例子,你能说出它们的共同特征吗?定义:集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称集).(常用大写字母A、B、C、…表示)元素:一般地,我们把研究的对象称为元素,(常用小写字母a,b,c…表示)任意一组对象是否都能组成一个集合?集合中的元素有什么特征?知识探究(二)任意一组对象是否都能组成一个集合?集合中的元素有什么特征?思考1:某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合?由此说明什么?集合中的元素必须是确定的思考2:在一个给定的集合中能否有相同的元素?由此说明什么?集合中的元素是不重复出现的思考3:0705班的全体同学组成一个集合,调整座位后这个集合有没有变化?由此说明什么?集合中的元素是没有顺序的eg:本班第一小组12人中共有5个姓氏,李、陈、黄、张、吴。eg:本校高一学生420名eg:本班第一小组12人中共有5个姓氏,李、陈、黄、张、吴。换成陈、黄、张、吴、李是一样的3、集合中元素的特性:(1)确定性:给定的集合,它的元素是确定的,也就是说,一个元素或者在这个集合里,或者不在,不能模棱两可.(2)互异性:集合中的元素是互不相同的,也就是说集合中的元素没有重复出现.(3)无序性:集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出).相等的集合:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等。思考1:集合中的元素个数的多少是否有限制?知识探究(三)(1)1~20以内的所有质数(3)所有正方形(2)本校高一学生420名(4)与一个角的两边距离相等的所有的点有限集无限集知识探究(三)思考1:设集合A表示“1~20以内的所有质数”,那么3,4,5,6这四个元素哪些在集合A中?哪些不在集合A中?思考2:对于一个给定的集合A,那么某元素a与集合A有哪几种可能关系?思考3:如果元素a是集合A中的元素,我们如何用数学化的语言表达?思考4:如果元素a不是集合A中的元素,我们如何用数学化的语言表达?a属于A,记作a∈Aa不属于A,记作Aa例如:12{1,-1};{1,-1}(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数组成的集合,记作N。(2)正整数集:非负整数集合内排除0的集合.记作N*或N+(3)整数集:全体整数的集合。记作Z.(5)实数集:全体实数的集合。记作R.(4)有理数集:全体有理数的集合。记作Q.思考1:所有的自然数,正整数,整数,有理数,实数能否分别构成集合?常用数集及记法:比如:“地球上的四大洋”组成的集合表示为?集合的表示方法:自然语言法、列举法、描述法以及Venn图(韦恩图)(1)自然语言法:用文字叙述的形式描述集合的方法。(2)列举法:把集合中的元素一一列举出来。并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法一般用大写拉丁字母表示集合:A={太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}把“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合表示为?{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}B={1,-2}例1用列举法表示下列集合(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x²=x的所有实数根组成的集合;(3)由1~20以内的所有质数组成的集合。解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}(2)设方程x2=x的所有实数解组成的集合为B,那么B={0,1}使用列举法时,应注意以下几点:1、元素间用分隔号2、元素不重复3、元素不顺序思考:(1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗?(2)你能用列举法表示不等式x-73的解的集合吗?大于等于2且小于等于8的偶数组成的集合我们不能用列举法表示不等式x-73的解的集合,因为这个集合中的元素是举不完的,但是,我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述。例如,不等式x-73的解的集合中所含元素共同特征是:x∈R,且x-73,即x10,所以我们可以把这个集合表示为:D={xR|x10},又如,任何一个奇数都可以表示为x=2k+1(k∈Z)的形式,所以我们可以把所有奇数的集使表示为:E={xZ|x=2k+1,kZ},用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。描述法:描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法。具体方法是:在花括号内写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例2:试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程x²-2=0的所有实数组成的集合。(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。解:(1)设方程x²-2=0的实数根为x,则x满足条件x²-2=0,因此,用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}方程x²-2=0的实数根为和因此列举法表示为A={,}2222(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10x20,因此,用描述法表示为B={x∈Z|10x20}用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}注意:如果从上下文关系来看,x∈R,x∈Z是明确的,那么x∈R,x∈Z可以省略,只写元素x,例如集合D={xR|x10}也可表示为D={x|x10},集合E={xZ|x=2k+1,kZ}也可表示为E={x|x=2k+1,kZ},(3)Venn图(韦恩图)1,-11,3,5,7,9思考:结合上述实例,试比较用自然语言、列举法和描述法表示集合时,各自的特点和适用的对象。1.自然语言:较通俗易懂,但书写较麻烦。适用于集合中元素有无数多个,且共同特征不易用于数学符号叙述的集合。2.列举法:易明确知道集合中的元素,但当集合中元素过多,且不具有一定规律时无法用列举法,只有当集合中元素个数有限且较少或集合中元素个数虽无数,但元素共同特征易于数学符号描述时可用列举法。3.描述法:可很明确知道集合中元素共同特征,且形式比较简单,此方法使用于集合中元素个数无限,且元素共同特征易用数学符号描述。练习1、用符号或填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合,则中国A,美国A,印度A,英国A;(2)若A={x|x²=x}则-1A(3)若B={x|x²+x-6=0}则3B(4)若C={xN|1≤x≤10},则8C,9.1C.2.试选择适当的方法表示下列集合(1)由方程x²-9=0的实数根组成的集合。(2)由小于8的所有质数组成的集合。(3)一次函数y=x+3与y=-3x+6的图象交点组成的集合(4)不等式4x-53的解集{3,-3}{2,3,5,7}{x|x2}{(,)}41543练习1.用列举法表示下列集合:(1){x|x是15的约数,x∈N}(2){(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}(3){x|x=(-1)n,n∈N}(4){(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N}2.用描述法表示下列集合:(1){1,4,7,10,13}(2)所有偶数组成的集合(1){1,3,5,15}(2){(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}(3){-1,1}(4){(0,8),(2,5),(4,2)}{x|x=2k,kZ}{x|x=3k+1,k=0,1,2,3,4}小结:本节课学习了以下内容:1).集合的有关概念:(集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集)2).集合元素的性质:确定性,互异性,无序性3).常用数集的定义及记法4).集合的表示法