2.1.1根式

第二章第1课时根式温故知新1．在初中学过正整数指数幂：将a·a·a·…·a用表示，这里的n为．ann个a正整数2．正整数指数幂运算性质(m，n∈N*)：(1)am·an＝；(2)aman＝；(3)(am)n＝；(4)(ab)m＝；am＋nam－namnambm(5)(ba)n＝(a≠0)；(6)a0＝(a≠0)；(7)a－n＝.bnan11an3．如果x2＝a，那么x叫做a的；如果x3＝a，那么x叫做a的，它们有如下运算性质：(1)a2＝；(2)(a)2＝(a≥0)；(3)3a3＝；(4)(3a)3＝.平方根立方根|a|aaa新课引入一个叫杰米的百万富翁，一天他碰上一件十分奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中每天给你十万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍．”杰米应该同意吗？提示：不应该．因为如果同意，杰米在一个月内得到310万元，而仅第31天就要付给韦伯1000万元．自主预习探究：(1)如果x2＝a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为±2；负数没有平方根．若x3＝a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如－8的立方根为－2.(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的4次方等于a，则这个数叫a的4次方根，一个数的5次方等于a，则这个数叫a的5次方根，一个数的6次方等于a，则这个数叫a的6次方根．(3)类比(2)得到，一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根．(4)用一句话概括为：若xn＝a，则x叫做a的n次方根．总结：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*，当n为奇数时，用符合na表示，当n为偶数时，用符号±na表示，其中式子na叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．an【归纳提升】(1)在实数范围内，正数的奇次方程是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0.(2)在实数范围内，正数的偶次方根有两个，如16的4次方根是±2，它们互为相反数，0的偶次方根是0，负数的偶次方根没有意义，即n为正偶数时，na有意义的条件是a≥0.(3)nan＝an为|a|n为时，(na)n＝.通过以上所学，完成下列练习．(1)x5·x8＝__________.(2)(－2x2)3＝________.(3)(－3x)2·(－x)3＝__________.(4)13x－2·(3x－1)2＝____________.奇数时偶数a(5)______的3次方根为12.(6)0.01的平方根为______．(7)4－22＝________.(8)5－0.15＝________.(9)10a＋b10＝________.(10)若1－2x2＝2x－1，则x的取值范围是________．[答案](1)x13(2)－8x6(3)－9x5(4)81x4(5)18(6)±0.1(7)2(8)－0.1(9)|a＋b|(10)x≥12思路方法技巧学法指导：n次方根的个数及符号的确定(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．(2)根式na的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，na为非负实数；②当n为奇数时，na的符号与a的符号一致．n次方根的概念问题1[例1]用根式表示下列各式中的x：(1)已知x6＝2013，则x＝________.(2)已知x5＝－2013，则x＝________.[分析]解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．[解析](1)由于6为偶数，所以x＝±62013(2)由于5为奇数，所以x＝5－2013＝－52013[答案](1)±62013(2)－520129的平方根是________，－125的立方根是________．[答案]±3，－5学法指导：1.根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．利用根式的性质化简或求值22．对nan与(na)n的进一步认识(1)对(na)n的理解：当n为大于1的奇数时，(na)n对任意a∈R都有意义，且(na)n＝a，当n为大于1的偶数时，(na)n只有当a≥0时才有意义，且(na)n＝a(a≥0)．(2)对nan的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，nan＝|a|＝aa≥0－aa＜0.[例2]计算下列各式的值：(1)3－43；(2)63－π6；(3)8x－28；(4)4－92；(5)3－22＋31－23＋41－24.[分析]利用nan的性质进行求值运算时，要注意n的奇偶性，特别是n为偶数时，要注意a的正负．对于(5)要先配方，再结合根式的运算进行求解．[解析](1)3－43＝3－64，因为(－4)3＝－64，所以3－64＝－4，即3－43＝－4；(2)63－π6＝|3－π|＝π－3；(3)8x－28＝|x－2|＝x－2x≥22－xx2.(4)4－92＝481＝434＝3；(5)因为3－22＝(2)2－22＋1＝(1－2)2，所以原式＝1－22＋31－23＋41－24＝|1－2|＋(1－2)＋|1－2|＝2－1＋1－2＋2－1＝2－1.规律总结：(1)利用根式的性质解题的关键是在理解的基础上熟记根式的意义与性质，特别要注意在nan中，n是偶数且a0的情况．(2)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．化简下列各式：(1)5－25；(2)(2012～2013河北孟村回民中学月考试题)6π－46；(3)4x＋24；(4)7x－77.[分析]由题目可获得以下主要信息：①所给形式均为nan的形式；②nan形式中n分为奇数和偶数两种．解答本题可依据根式的性质nan＝|a|n为大于1的偶数an为大于1的奇数，完成化简．[解析](1)5－25＝－2.(2)6π－46＝64－π6＝4－π.(3)4x＋24＝|x＋2|＝x＋2x≥－2－x－2x－2.(4)7x－77＝x－7.学法指导：对形如a±2b的复合根式，在有些情况下是可能得到化简的，但并非所有的这种类型都能化简，只要掌握其中较简单的基本类型即可．根式的运算技巧3将复合根式先化为a±2b(a0，b0)的形式．若有x1＋x2＝a，x1·x2＝b，其中x10，x20，x1x2，则复合根式可写为x12±2x1·x2＋x22＝x1±x22＝x1±x2，也即若方程x2－ax＋b＝0有两个正的有理根，则复合根式a±2b可化简．[例3]计算5－26＋5＋26[分析]注意a＋2b的配方或整体考虑运用方程思想．[解析]解法一：原式＝2－32＋2＋32＝3－2＋3＋2＝23.解法二：设x＝5－26＋5＋26，则x0.平方得x2＝(5－26)＋(5＋26)＋25＋265－26即x2＝12，∵x0，∴x＝23.∴原式＝23.基础巩固训练1．以下说法正确的是(其中n∈N*)()A．正数的n次方根是一个正数B．负数的n次方根是一个负数C．0的n次方根为0D．a的n次方根是na[答案]C2．(2012～2013山东淄博一中期中考试试题)下列运算正确中计算结果正确的是()A．a4·a3＝a12B．a6÷a3＝a2C．(a3)2＝a5D．a3·b3＝(a·b)3[答案]D3．以下运算正确的是()A.－a2＝aB.a2＝－aC.a2＝|a|D.a2＝a[答案]C4．(2012～2013山东鱼台中学期中试题)4－34的值是()A．3B．－3C．±3D．1[答案]A5．以下正确的是()A.a－b2＝a－bB.a－b2＝|a－b|C.a2－b2＝a－b·a＋bD.ab＝ab[答案]B6．已知a、b∈R，则等式(a－b)·a－b2＝－(b－a)2成立的条件是()A．abB．abC．a＝bD．a≤b[答案]D[解析](a－b)·a－b2＝(a－b)|a－b|＝(a－b)(b－a)，∴a－b≤0，∴b≥a，选D.7．化简下列各式．(1)x－y2；(2)x2－2x＋1－x2＋6x＋9(－3x3)．[分析]原式→含有nan的式子→含有|a|形式的式子→求得结果.[解析](1)x－y2＝|x－y|＝x－yx≥yy－xxy.(2)原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|.∵－3x3，∴－4x－12,0x＋36.当－4x－10，即－3x1时，|x－1|－|x＋3|＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；当0≤x－12，即1≤x3时，|x－1|－|x＋3|＝x－1－(x＋3)＝－4.∴x2－2x＋1－x2＋6x＋9＝－2x－2－3x1－41≤x3.规律总结：在根式的学习中，要特别注意根指数是偶数的问题，因为在2kfx(k∈N*)中，要求f(x)≥0，否则极易出错．8．如果m－5，化简：|6－m|－|2m＋1|＋m2＋10m＋25.[解析]|6－m|－|2m＋1|＋m2＋10m＋25＝|6－m|－|2m＋1|＋|m＋5|＝6－m＋2m＋1－m－5＝2.