中北大学2004年数学分析(A)

华北工学院2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目名称：数学分析(A)一、（本题共30分，每小题10分）判断下列命题是否正确，正确的加以证明，错误的请举反例。1．设}{na为非负数列，且0limnnna，则1nna收敛。2．设)(xf在),(a内可导，且0)('limxfx，则)(limxfx一定存在有限极限。3．设函数)(xf在区间],[ba上可积，且在至少一个连续点的值不为0，则0)(badxxf，二、计算（本题共30分，每小题15分）1．求极限)sin1ln()1(sinlim20xxxxxexx2．计算曲面积分I=dxdybzyyxdzdxazyxdydzcxz22222222)sin(2其中表示椭球面1222222czbyax上0z的部分，取上侧。编号：200401第1页共2页三、（本题20分）设函数)(xf在原点的某一邻域内存在连续的二阶导数，且0)(lim0xxfx，0)0(''f，证明级数111ln)1(nnnf绝对收敛。四、（本题20分）证明：122)1(nnnnx在任何有限区间],[ba上一致收敛，而在任何点处都不绝对收敛。五、（本题20分）证明：若)(xf在),[a上连续，且Axfx)(lim（有限数），则)(xf在),[a上一致连续。六、（本题20分）已知含参变量反常（广义）积分I(a)=0sindxexxax(1)证明：I（a）作为a的函数在),0[上连续，在),0(内可导；(2)求出)('aI；（3）求I（0）七、（本题10分）设函数)(xf在]1,0[上连续，且0)(xf，试证：10)(ln)(10dxxfedxxf编号：200401第2页共2页