九年级数学上册反比例函数知识点总结及反比例函数练习题

杭州中考网第十三讲反比例函数课程目标⑴理解反比例函数的概念和性质，会用待定系数法求反比例函数的解析式。⑵树立数形结合的数学思想，能完成解析式和图像位置、性质之间的转化。⑶综合运用多种数学思想，逐步形成数学应用和建模的意识。课程重点⑴掌握反比例函数的概念及性质，确定反比例函数的解析式。⑵理解函数图像的含义，学习从图像中获取信息解决问题的能力。⑶能运用反比例函数的知识，解决实际应用的问题。课程难点⑴掌握反比例函数图像的几何意义，渗透数形结合的数学思想。⑵运用类比和转化思想，解决实际问题及代几综合题。教学方法建议反比例函数是八年级下的内容，经常与一次函数结合考查，也是中考出题的热点篇章。本身蕴含诸多数学思想：方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等等。本讲中的每道例题及搭配课堂训练题都是一个考点的小专题。限于课堂容量，部分简单及非典型题将在课后作业中出现，建议教师根据学生情况选择性讲授作为补充。选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（2）道（2）道（10）道B类（3）道（2）道（10）道C类（2）道（2）道（10）道第一部分知识梳理一、反比例函数的解析式1．反比例函数的概念一般地，函数xky（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1kxy的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2．反比例函数解析式的确定由于在反比例函数xky中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的杭州中考网一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。二、反比例函数的图像及性质1．反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。2．反比例函数的性质反比例函数)0(kxkyk的符号k0k0图像yOxyOx性质①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。对称性①)0(kxky的图象是轴对称图形，对称轴为)0(＞kxy或)0(＜kxy②)0(kxky的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③xkyxky和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．杭州中考网．反比例函数中反比例系数的几何意义①过双曲线xky(k≠0)上任意一点作x轴、y轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为k。②过双曲线xky(k≠0)上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三角形（如图）的面积为2k．③双曲线xky(k≠0)同一支上任意两点1P、2P与原点组成的三角形（如图）的面积=直角梯形1221PPQQ的面积．第二部分例题与解题思路方法归纳【例题1】已知函数521mxmy是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．21〖难度分级〗A类〖试题来源〗2010年凉山州中考数学试题〖选题意图〗对于反比例函数)0(kxky。由于11xx，所以反比例函数也可以写成1xy（k是常数，k≠0）的形式，有时也以xy=k（k是常数，k≠0）的形式出现。（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数，同时需要掌握反比例函数的性质，这样才能防止漏解或多解。〖解题思路〗根据反比例函数的定义m2﹣5=﹣1，又图象在第二、四象限，所以m+1＜0，两式联立方程组求解即可．yxOQCBAP杭州中考网〖参考答案〗解：∵函数521mxmy是反比例函数，且图象在第二、四象限内，∴01152＜mm，解得m=±2且m＜﹣1，∴m=﹣2．故选B．【课堂训练题】1．（2000•甘肃）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例，且当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5．求y与x的函数关系式．〖难度分级〗A类〖参考答案〗解：设y1=k1x（k1≠0），y2=错误!未找到引用源。∴y=k1x+错误!未找到引用源。∵当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5，∴5312121kkkk，∴2121kk。∴22xxy。2．定义：已知反比例函数xky1与xky2，如果存在函数xkky21（k1k2＞0）则称函数xkky21为这两个函数的中和函数。（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为xy2，并且其中一个函数满足：当x＜0时，y随x的增大而增大。（2）函数xy3和xy12的中和函数xky的图象和函数y=2x的图象相交于两点，试求当xky的函数值大于y=2x的函数值时x的取值范围。〖难度分级〗B类〖参考答案〗解：（1）∵试写出一对函数，使得它的中和函数为错误!未找到引用源。，并且其中一个函数满足：当x＜0时，y随x的增大而增大．∴答案不唯一，如错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。等；y=x3（2）∵错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的中和函数错误!未找到引用源。，杭州中考网联立方程组xyxy26，解之得两个函数图象的交点坐标为（3，32）（3，32），结合图象得到当xky的函数值大于y=2x的函数值时x的取值范围是3＜x或30＜＜x．【例题2】如图所示是反比例函数xny42的图象的一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数n的取值范围是什么？（2）若函数图象经过点（3，1），求n的值；（3）在这个函数图象的某一支上任取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），如果a1＜a2，试比较b1和b2的大小．〖难度分级〗B类〖试题来源〗2010年肇庆市中考数学试题〖选题意图〗本题主要考查反比例函数图象的性质和待定系数法求函数解析式的方法，需要熟练掌握．〖解题思路〗（1）根据反比例函数图象的性质，这一支位于第一象限，另一支一定位于第三象限；（2）把点的坐标代入反比例函数求出n值，即可求出函数解析式；（3）根据反比例函数图象的性质，当k＞0时，在每个象限内，函数值y随x增大而减小。〖参考答案〗解：（1）图象的另一支在第三象限．由图象可知，2n﹣4＞0，解得：n＞2（2）将点（3，1）代入xny42得：3421n，解得：n=错误!未找到引用源。；（3）∵2n﹣4＞0，∴在这个函数图象的任一支上，y随x增大而减小，∴当a1＜a2时，b1＞b2．杭州中考网【课堂训练题】1．如图是反比例函数xmy5的图象的一支．（1）求m的取值范围，并在图中画出另一支的图象；（2）若m=﹣1，P（a，3）是双曲线上点，PH⊥y轴于H，将线段OP向右平移3PH的长度至O′P′，此时P的对应点P′恰好在另一条双曲线xky的图象上，则平移中线段OP扫过的面积为，k=．（直接填写答案）〖难度分级〗B类〖参考答案〗解：（1）由反比例函数的图象可知m﹣5＜0，即m＜5．（2）∵m=﹣1，∴反比例函数xmy5的解析式为xy6，把P（a，3）代入上式得a=﹣2．向右平移3PH，可得P′坐标为（4，3），第一象限内抛物线解析式为xy12．S▱oo'p′p=S▭A′PP′A=2×3+4×3=18．则平移中线段OP扫过的面积为18，k=12．2．（2006•临沂）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数23yx的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所图象的函数表达式是23(2)4yx。类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：杭州中考网（1）将y=错误!未找到引用源。的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为；（2）函数y=错误!未找到引用源。的图象可由y=错误!未找到引用源。的图象向平移个单位得到；y=错误!未找到引用源。的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到；（3）一般地，函数y=错误!未找到引用源。（ab≠0，且a≠b）的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？〖难度分级〗B类〖参考答案〗解：（1）可设新反比例函数的解析式为y=错误!未找到引用源。，可从原反比例函数找一点（1，1），向右平移1个单位得（2，1），代入解析式可得：a=﹣1．故所得图象的函数表达式为错误!未找到引用源。；再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为错误!未找到引用源。．（2）先把函数化为标准反比例的形式y=错误!未找到引用源。+1，然后即可根据反比例函数图象平移的性质解答：y=错误!未找到引用源。可转化为错误!未找到引用源。．故函数y=错误!未找到引用源。的图象可由y=错误!未找到引用源。的图象向上移1个单位得到；y=错误!未找到引用源。的图象可由反比例函数错误!未找到引用源。的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到．（3）函数错误!未找到引用源。（ab≠0，且a≠b）可转化为错误!未找到引用源。．当a＞0时，错误!未找到引用源。的图象可由反比例函数错误!未找到引用源。的图象向左平移a个单位，再向上平移1个单位得到；当a＜0时，错误!未找到引用源。的图象可由反比例函数错误!未找到引用源。的图象向右平移﹣a个单位，再向上平移1个单位得到．【例题3】在反比例函数xky的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小．（1）求k的取值范围；（2）在曲线上取一点A，分别向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为O，若四边形ABOC面积为6，求k的值．〖难度分级〗B类杭州中考网〖试题来源〗2009年湖南省湘西自治州中考数学试题〖选题意图〗主要考查了反比例函数xky中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=错误!未找到引用源。|k|．〖解题思路〗（1）直接根据反比例函数的性质求解即可，k＞0；（2）直接根据k的几何意义可知：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，所以|k|=6，而k＞0，则k=6．〖参考答案〗解：（1）∵y的值随x的增大而减小，∴k＞0．（2）由于点A在双曲线上，则S=|k|=6，而k＞0，所以k=6．【课堂训练题】1．（2009•莆田）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数y=错误!未找到引用源。（x≠0）的图