谭继锦有限元法课件之四-3.5-单元等效节点载荷

第三章连续体问题的有限元法平面问题的有限元法平面问题的有限元法划分单元时，应注意以下几点：划分单元时，应注意以下几点：（1）单元类型的选择，主要取决于结构的几何形状，施加的荷载类型和要求的计算精度。施加的荷载类型和要求的计算精度（2）单元的大小（即网格的疏密），从有限元理论上讲，单元划分越细，节点布置越多，计算结果精度越高。一般大型通用程序每百万节点自由度大约要用1G的工作空间和10G的磁盘空间。（3）单元有疏有密，对结构的不同部位可采取不同大小的单元。对边界曲折部位，应力或位移变化剧烈的重要部位网格划分的密些如槽孔洞等应力集中要部位，网格划分的可密些（如凹槽、孔洞等应力集中处）。1第三章连续体问题的有限元法（4）不同厚度或不同材料处应取为单元的边界线而（4）不同厚度或不同材料处，应取为单元的边界线，而且在该处附近的单元还应尽量划分的小一些，以尽可能反映出边界两侧的应力突变情况。映出边界两侧的应力突变情况。（5）预留载荷位置，在分布载荷集度变化处和应力集中作用处，应布置节点以利加载，其附近单元划分的小些，作用处应布置节点以利加载其附单元划分的小以反映此处的应力变化。123uxy123456yvxyQuestions:1.有限元求解方法？2.为什么定义位移模式？3.αi等系数如何求取？2第三章连续体问题的有限元法由节点位移表达单元内任点位移的插值公式即由节点位移表达单元内任一点位移的插值公式，即位移模式的另一种形式：mmiijjuNuNuNuNNN(i,j,m)iijjmmvNvNvNviu000iijmjvNNNuu{}000ijmjijmjufvNNNvummuv3第三章连续体问题的有限元法计算结果收敛的必要条件★计算结果收敛的必要条件：★1）位移函数必须包括常量应变（即线性项）；）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）2）位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）；3）位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）；4）位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）；单元应变和应力：eeSBDSBD单元平衡条件：TTtdxdyFTeeT**式中单元厚度4式中：t-单元厚度第三章连续体问题的有限元法T{}[][][]{}eTeFBDBtdxdy单度矩阵tdxdyBDBkTe]][[][][单元刚度矩阵：tdxdyBDBk]][[][][5第三章连续体问题的有限元法第节单等效节点载荷第五节单元等效节点载荷等效节点载荷处理：将非节点载荷按一定原则移置到节点上，也就是等效节点载荷处理。移置必须满足静力等效原则力等效原则。所谓静力等效原则是指原载荷与移置后的等效节点所谓静力等效原则是指原载荷与移置后的等效节点载荷在弹性体产生任何虚位移过程中，所做的虚功相等。在一定的位移函数下，这种移置的结果是唯一的。6第三章连续体问题的有限元法而且总能符合通常对刚体而言的静力等而且总能符合通常对刚体而言的静力等效原则，即移置前后的两个载荷系统在任一轴上的投影之和彼此相等，对任一任轴上的投影之和彼此相等，对任轴的力矩之和也彼此相等。TxyRRR单元e上任一点n（x,y）作用一集中力R，R在坐标轴x,y方向的分量分别为Rx,Ry,即。集中力R向单元的三xyxy,个节点移置而得到单元等效节点载荷，其单元节点载荷列阵可表示为：ePieeTeeeeeePPPPPPPPPeeeeeejxiyixjyjxmymmPPPPPPPPP7第三章连续体问题的有限元法****eTfN设该单元发生一个任意的虚位移，n点相应的虚位移为：fuvN该单元各节点处的虚位移为：该单元各节点处的虚位移为：*******eTiijjuvuvuviijjmmuvuvuv根据虚功原理有：**TeTePfR**TTeeePNR8**TTeeTePNR第三章连续体问题的有限元法*e因是任意的故因是任意的，故3-27TePNRexiixePNRPNReeyiiyiexjjxPNRPPNRxjjxjejyyjmPNRPPNRmemxxmemyymNRPNRPym3-28TeixiyjxjymxmyPNRNRNRNRNRNR9单元内作用一集中力向节点移置的公式。第三章连续体问题的有限元法设单元内单位体积的体力为p，则微体积受力为利用式（3-27）得：,ptdxdy(3-29)TevPNptdxdytds设单元某一边界s上受有分布的面力q,可将微面积上的面力看作集中载荷，面力向节点移置的公式为：,qtds(3-30)TesPNqtds公式（3-27），（3-29），（3-30）被称为载荷移置的一般公式以体力为例单位体积内的体力可认为在单e般公式。以体力为例，单位体积内的体力可认为在单元内均布，即：p10第三章连续体问题的有限元法Te1eijmPINININdxdytpNddbdd21iiiiNdxdyabxcydxdyAddbdddd2iiiadxdybxdxdycydxdyA由形心坐标公式：1xdxdy13cijmxdxdyxxxxdxdy1ydxdyyyyy113cijmyyyydxdy第三章连续体问题的有限元法131ijmxdxdyxxxA故13ijmydxdyyyyA代入111+c233iiiijmiijmNdxdyaAbxxxAyyyAA代入233111=233iiiijmiijmiiijmiijmAabxxxcyyy233iiijmiijmyyy12第三章连续体问题的有限元法:abc把代入得,,:1111333iiijmmjjmijmmjiiijmabcxyxyyyxxxxxabxxx把代入，得333123iijmcyyy11312jmmjjijjjmmimjmmxyxyyxyxyxyxyxyx1231mimjmmjijjjmxyxyxyxyxyxyx1111111yxyyxyxyxyxxyxyxy2jx33333331111111123333333mmjjijmmimjmimjjmjmmjjimimijijmyxyyxyxyxyxxyxyxyxyxyyxyxxyxyxy233333331163jmmjjimimijijmjmiijmmijxyyxyyxyyA1363第三章连续体问题的有限元法1T131=3TeTPAIIIptIIIAtp31=3TIIIw1001101xw=0131001xyw01xyww11=3yxyww11111333333Txyxyxy14xyww第三章连续体问题的有限元法亦即单元上的总体积力平均分配到三个节点上即得等效节亦即，单元上的总体积力平均分配到三个节点上即得等效节点载荷。若单元总体积力w是自重，则等效节点载荷列阵为：若单元总体积力w是自重，则等效节点载荷列阵为：010101TewP0101013P其中负号表示等效节点载荷分量的方向与坐标的y轴方向相反。实际上只要位移数是线性的对于作用在边界上的分布实际上，只要位移函数是线性的，对于作用在边界上的分布力或集中力可更简单地直接按静力学原则把载荷移植到相邻两节点上其结果与按虚功等效原则移置所得完全一致两节点上，其结果与按虚功等效原则移置所得完全致。15第三章连续体问题的有限元法第六节整体平衡方程与总刚度矩阵第六节整体平衡方程与总刚度矩阵有限单元组合形成连续体结构时必须满足整个结构的有限单元组合形成连续体结构时，必须满足整个结构的变形连续条件和平衡条件。变形连续条件所有节点处单元公共边界单元内部变形连续条件：所有节点处、单元公共边界、单元内部变形连续。平衡条件：离散后的单元组合体各个节点要静力平衡。整体分析就是将各个单元平衡方程集合在一起，得到结构整体平衡方程。16第三章连续体问题的有限元法[]{}{}KR式中整个结构点位阵[]{}{}KR式中是整个结构上节点位移分量列阵。设节点个数为n，每个节点有2个位移分量，则结构总的位移分量为个是阶向量按照从{}T{}位移分量为2n个。是二阶向量，按照从小到大节点编号列阵为：{}[]Tiiiuv123{}[](3-35)TTTTTn式中{R}是整个结构的节点力分量列阵，每个节点有2个节点力分量{}[]TRRR节点有2个节点力分量，{}[]ixiyiRRR123{}[](3-36)TTTTTRRRRR17123{}[](336)nRRRRR第三章连续体问题的有限元法11121112122222............nnKKKRKKKR2122222n（3-37）12......nnnnnnKKKR总刚度矩阵组集的原则是将每个单元的子矩阵[krs]2×2置于整体刚度矩阵的第r行第s列上即对号入座地置于整体刚度矩阵的第r行、第s列上，即对号入座地将各[k]e的子块放入[K]中相应位置，凡是下标相同的子块，应放入同一位置叠加，如此形成总刚度矩阵。18第三章连续体问题的有限元法总刚度矩阵具有以下一些性质：（1）总刚度矩阵是对称矩阵（1）总刚度矩阵是对称矩阵（2）总刚度矩阵呈稀疏带状分布（3）总刚度矩阵是奇异矩阵有限元方法的核有限元方法的核心：它不是求解整个域上的连续解析解，而是去寻找每个子它不是求解整个域上的连续解析解，而是去寻找每个子域上近似满足基本方程的分片插值函数解。它将物体人为地划分为一个个单元，在单元分析基础上，再集合单元，对整体结构进行综合分析。19元对体结构行综合分析第三章连续体问题的有限元法第七节边界条件处理为求解整体总刚度矩阵奇异消除刚体位移引入位移约束条件为求解整体平衡方程体位移，引入位移约束条件。从力学角度看，进行边界约束条件处理，消除结构由于外力作用而产生的刚体位移使半正定刚度阵→正定刚度阵，解具有唯一性。20第三章连续体问题的有限元法由于[K]矩阵中与零位移对应的行和列上的元素在求解其余位移时不起