高考数学复习-直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系A组1．(2009年高考天津卷)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a0)的公共弦的长为23，则a＝________.解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y＝1a，如图，由已知|AC|＝3，|OA|＝2，有|OC|＝1a＝1，∴a＝1.答案：12．(2009年高考全国卷Ⅱ)已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：依题意，过A(1,2)作圆x2＋y2＝5的切线方程为x＋2y＝5，在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为52，切线与坐标轴围成的三角形面积S＝12×52×5＝254.答案：2543．(2009年高考湖北卷)过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为________．解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，可知圆心为(3,4)，半径为5.如图可知，|CO|＝5，∴OP＝25－5＝25.∴tan∠POC＝PCOP＝12.在Rt△POC中，OC·PM＝OP·PC，∴PM＝25×55＝2.∴PQ＝2PM＝4.答案：44．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．解析：将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d＝|3×1＋4×(－2)＋m|32＋42＝|m－5|51，∴m0或m10.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)5．(原创题)已知直线3x－y＋2m＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*，且n－m5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有________个．解析：由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即2m－1＝n，所以2m－1－m5，因为m，n∈N*，所以m＝1n＝1，m＝2n＝2，m＝3n＝4，m＝4n＝8，故有序实数对(m，n)共有4个．答案：4个6．(2010年南京调研)已知：以点C(t，2t)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．解：(1)证明：∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋4t2.设圆C的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝t2＋4t2，令x＝0，得y1＝0，y2＝4t；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.∴S△OAB＝12OA·OB＝12×|4t|×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.∵kMN＝－2，∴kOC＝12，∴直线OC的方程是y＝12x.∴2t＝12t，解得：t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝5，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝155，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝5，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝155，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.B组1．直线ax＋by＋b－a＝0与圆x2＋y2－x－3＝0的位置关系是________．解析：直线方程化为a(x－1)＋b(y＋1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆的方程，左侧小于0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．答案：相交2．(2010年秦州质检)已知直线y＝3－x与圆x2＋y2＝2相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点，则∠APB＝____________.解析：弦心距长为62，半径为2，所以弦AB所对的圆心角为π3，又因为同弦所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠APB＝π6.答案：π63．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b的夹角为60°，直线xcosα＋ysinα＝0与圆(x＋cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝12的位置关系是________．解析：cos60°＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝cos(α－β)，d＝|cosα·cosβ＋sinα·sinβ|cos2α＋sin2α＝|cos(α－β)|＝3222＝r.答案：相离4．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的共有__条．解析：方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圆心为(－1,2)，到点A(11,2)的距离为12，最短弦长为10，最长弦长为26，所以所求直线条数为2＋2×(25－10)＝32(条)．答案：325．若集合A＝{(x，y)|y＝1＋4－x2}，B＝{(x，y)|y＝k(x－2)＋4}．当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________________．解析：A∩B有4个子集，即A∩B有2个元素，∴半圆x2＋(y－1)2＝4(y≥1)与过P(2,4)点，斜率为k的直线有两个交点，如图：A(－2,1)，kPA＝34，过P与半圆相切时，k＝512，∴512k≤34.答案：512＜k≤346．(2009年高考全国卷Ⅱ)已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．解析：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12＋d22＝OM2＝3.四边形ABCD的面积S＝12|AB|·|CD|＝2(4－d12)(4－d22)≤8－(d12＋d22)＝5.7．(2010年宁波调研)已知圆C：x2＋y2＋bx＋ay－3＝0(a、b为正实数)上任意一点关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点都在圆C上，则1a＋3b的最小值为________．解析：由题意，知圆心在直线上，所以－b2＋(－a2)＋2＝0，∴a4＋b4＝1，则(1a＋3b)(a4＋b4)＝1＋b4a＋3a4b≥1＋2b4a·3a4b＝1＋32.8．设圆O：x2＋y2＝169，直线l：x＋3y－8＝0，点A∈l，使得圆O上存在点B，且∠OAB＝30°(O为坐标原点)，则点A的横坐标的取值范围是________．解析：依题意点A∈l，设A(x0，8－x03)．过点A作圆O的切线，切点为M，则∠OAM≥∠OAB＝30°.从而sin∠OAM≥sin30°＝12，即|OM||OA|≥sin30°＝12，就是|OA|2≤4(|OM|2)＝649，x02＋(8－x03)2≤649，5x02－8x0≤0，解得x0∈[0，85]．答案：[0，85]9．(2009年高考江西卷)设直线系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．解析：xcosθ＋ysinθ－2sinθ－1＝0.则点(0,2)到其直线的距离为d＝|0·cosθ＋2sinθ－2sinθ－1|cos2θ＋sin2θ＝1.∴说明此直线是圆心为(0,2)，半径为1的圆的切线．圆心为(0,2)，半径大于等于1的圆与所有直线相交，A对；圆心为(0,2)，半径小于1的圆与所有直线不相交，B对；圆心为(0,2)，半径等于1的圆与所有直线都相切，C对；因为M中的直线与以(0,2)为圆心，半径为1的圆相切，所以M中的直线所能围成的正三角形面积不都相等．如图△ABC与△ADE均为等边三角形而面积不等．答案：A、B、C10．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B两点，(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程．解：(1)x2＋y2＋2x＋2y－8＝0x2＋y2－2x＋10y－24＝0⇒x－2y＋4＝0.(2)由(1)得x＝2y－4，代入x2＋y2＋2x＋2y－8＝0中得：y2－2y＝0.∴x＝－4y＝0或x＝0y＝2，即A(－4,0)，B(0,2)，又圆心在直线y＝－x上，设圆心为M(x，－x)，则|MA|＝|MB|，解得M(－3,3)，∴⊙M：(x＋3)2＋(y－3)2＝10.11．(2010年江苏徐州调研)已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l1过定点A(3,0)，且与圆C相切．(1)求直线l1的方程；(2)设圆C与x轴交于P、Q两点，M是圆C上异于P、Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′.求证：以P′Q′为直径的圆C′总过定点，并求出定点坐标．解：(1)∵直线l1过点A(3,0)，且与圆C：x2＋y2＝1相切，设直线l1的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d＝|3k|k2＋1＝1，解得k＝±24，∴直线l1的方程为y＝±24(x－3)．(2)对于圆C：x2＋y2＝1，令y＝0，则x＝±1，即P(－1,0)，Q(1,0)．又直线l2过点A且与x轴垂直，∴直线l2方程为x＝3.设M(s，t)，则直线PM的方程为y＝ts＋1(x＋1)．解方程组x＝3，y＝ts＋1(x＋1)，得P′(3，4ts＋1)．同理可得Q′(3，2ts－1)．∴以P′Q′为直径的圆C′的方程为(x－3)(x－3)＋(y－4ts＋1)(y－2ts－1)＝0，又s2＋t2＝1，∴整理得(x2＋y2－6x＋1)＋6s－2ty＝0，若圆C′经过定点，只需令y＝0，从而有x2－6x＋1＝0，解得x＝3±22，∴圆C′总经过定点，定点坐标为(3±22，0)．12．(2009年高考江苏卷)如图在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．解：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为23，所以d＝22－(3)2＝1.由点到直线的距离公式得d＝|1－k(－3－4)|1＋k2，从而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－724，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－1k(x－a)．因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即|1－k(－3－a)－b|1＋k2＝|5＋1k(4－a)－b|1＋1k2，整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)·k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为k的取值有无穷多个，所以a＋b－2＝0，b－a＋3＝0，或a－b＋8＝0，a＋b－5＝0，解得a＝52，b＝－12，或a＝－32，b＝132.这样点P只可能是点P1(52，－12)或点P2(－32，132)．经检验点P1和P2满足题目条件．