从平面向量到空间向量

一.复习平面向量1.向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。如:a或AB2.向量的表示方法：3.相等向量：方向相同且模相等的向量.相反向量：平行向量：共线向量：单位向量：零向量：方向相反且模相等的向量.方向相同或相反的向量.平行向量也叫共线向量.模为1个单位的向量.模为0的向量.aa相反向量abc共线向量或平行向量3、ABCDABCDaABCDA1B1C1D1b空间向量的客观存在物理中的事例•如图F1F2F3一个放在水平面上物体，受到不在同一平面内的三个力的作用，如何求它们的合力？南上东住处学校小明从学校大门口出发,向北行走100m,再向东行走200m,最后上电梯15m到达住处.实际问题在一个平面内来考虑既有大小又有方向的量称为平面向量在一个空间内来考虑既有大小又有方向的量称为空间向量1.空间向量的概念可以看出:平面向量与空间向量只是研究的范围不同.平面向量扩展到空间就是空间向量。2.空间向量的表示表示方法1:用有向线段表示表示方法2:用字母表示a,b,c……或者a,b,c……如,A叫做向量的起点,B叫做向量的终点;AB注意：数学中所讨论的向量与向量的起点无关称之为自由向量。AB3.空间向量的模：空间向量的大小也叫做向量的长度或模用∣∣或∣∣表示。ABa4.空间两向量的夹角abbaBOA过空间任意一点Ｏ作向量,的相等向量和,则∠AOB叫作向量,的夹角,记作,aOAOBaabbb过空间任意一点Ｏ作向量,的相等向量和,则∠AOB叫作向量,的夹角,记作,aaOAOAOBOBaaaabbbbbb规定0≤,≤ab规定0≤,≤aabb当,=/2时,向量与垂直,ababab记作:⊥当,=0或时,向量与平行,ababab记作://4.空间两向量的夹角注意：〈a,b〉=〈b,a〉aABABaaABaAB平面向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量几何表示法几何表示法字母表示法字母表示法向量的大小向量的大小长度为零的向量长度为零的向量模为1的向量模为1的向量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量定义表示法向量的模零向量单位向量相反向量相等向量类比平面向量与空间向量的基本概念思考交流：在同一平面在一个空间概念辨析：给出下列命题：其中正确的是（）（1）将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；（2）若空间向量，满足，则；（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有向量AC=A1C1（4）若空间向量：，则（5）空间中任意两个单位向量必相等。ba、||||babapnnm、.pm3,4AFED′C′B′A′DCBＤC　　　AＢ　　CD　　　ＢAEF　　ＤＡ　　　　BC　　CB　　　AD　　　AD　．　CB　　BC　　　DA　　　AD,,,)3(.,,,)2(,,)1(:平行的向量有与的相反向量有向量相等的向量有与解平面直线的方向向量是如何定义的？直线的方向向量唯一吗？如何表示空间直线的方向向量？三空间直线的方向向量L在平面内与直线L共线的向量叫直线的方向向量。直线的方向向量有无数条。a定义：对于空间任意一条直线L,我们把与直线平行的非零向量d叫做直线的一个方向向量。空间直线的方向向量2.空间一条直线的方向向量是唯一的吗？B1.M0B是直线的方向向量吗?思考：.过一点A和一个方向向量a可以确定几条空间直线？思考：过空间中一定点A，作方向向量为的空间直线。aaA结论：过一点A,做方向相量为a的直线只有唯一一条。四.空间向量与平面Al在空间一直线与平面的位置关系有几种相交：垂直和斜交平行或重合2.向量与平面Aal定义：如果直线L垂直于平面,那么把直线L的方向向量叫做平面的法向量.a几点注意：1.法向量一定垂直该平面;2.平面的法向量不唯一，有无数条法向量。3.一个平面的所有法向量都互相平行。思考：过一定点A，且法向量为a的平面确定吗？过空间中一定点A，作法向量为的平面。aaA结论：过一点只能做一个平面和已知法向量垂直。ababOABb结论：1.空间任意两个向量都是共面向量，但不确定唯一平面。2.平面向量中两个向量的有关结论如加、减、数乘、内积仍适用于空间向量。这也是我们后面学习空间向量运算的基础。思考：空间任意两个向量是否共面？是否确定唯一的平面？练习1.下列说法正确的是：（）A.平面内的任意两个向量都共线B.空间的任意三个向量都不共面C.空间的任意两个向量都共面D.空间的任意三个向量都共面C练习2中：如图正方体''''DCBAABCD以顶点为端点的所有向量中，直线AB的方向向量有A.8个B.7个C.6个D.5个AFED′C′B′A′DCB答案A中：如图正方体''''DCBAABCD相等吗？与向量向量ABCDBADC'','',)1(是相反向量吗？与⑵向量'',,''BABACDDC平行的向量吗？个与找到的中点，在正方体中能和分别是和）（EFBBABFE3'3练习3.ABCDDCBAEF（1）是相等（2）是相反向量(3)AB'DC'B'A小结:1.空间向量的有关概念2.直线的方向向量3.法向量4.共面向量本节课主要运用了类比的数学推理方法，通过平面向量学习和它类似的空间向量本节课我们学习了那些概念？本节课我们运用什么数学方法？作业：练习27页A组3，4大题B组2大题