【精选】不动点法求数列的通项(讲座)

快乐常在不动点法求数列的通项惠来县第一中学方文湃自从实施新课程标准，使用新教材以来，高考题中出现了数列的解答题的次数好象不少。如2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题、2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题，这两道题都是已知数列的递推式，求它的的通项公式，并且求法都与“不动点”有关。记函数f(x)的定义域为D，若存在D，使＝f()成立，则称（，）为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点。以此类推，在数列{an}中，an+1=f(an)(nN+)，若存在满足方程＝f()，称为不动点方程＝f()的根。下面介绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点，通过换元后，化为等差、等比数列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。一、递推式为an+1=aan+b(a0,a1,a,b均为常数)型的数列由递推式an+1=aan+b总可变形为an+1－=a（an－）…………………………（１）（１）式中的与系数a,b存在怎样的关系呢？由（１）得an+1=aan＋－a∴b=－a即＝a+b…………………………（２）关于的方程（２）刚好是递推式an+1=aan+b中的an，an+1都换成得到的不动点方程。令bn=an－代入（１）得bn+1=abn一般来说，可先求等比数列{bn}的通项，再求数列{an}的通项。例１：在数列{an}中，已知a1=1,an+1=1－21an(nN+),求limnan。解：令x=1－21x得x=32an+1－32=1－21an－32=－21(an－32)令bn=an－32，则bn+1=－21bn∴数列{bn}成首项为b1=a1－32=1－32=31，公比为q＝－21的等比数列，于是有快乐常在bn=31(－21)n－1即an－32＝31(－21)n－1∴an=32[1－31(－21)n]∴limnan=32限于篇幅，求这种类型的数列的通项，其它的解法就不说了。二、递推式为an+1=dcabaann（c0,a,b,c,d为常数）型的数列an+1－=dcabaann－＝dcadbacann)(=dcacadbacann))((令＝－cadb可化得＝dcba…………………………（３）关于的方程（３）刚好是递推式an+1=dcabaann中的an，an+1都换成后的不动点方程。○1当方程（３）有两个不同根１，２时，有an+1－１＝dcaacann))((11an+1－２＝dcaacann))((22∴2111nnaa＝21caca21nnaa令bn=21nnaa有bn＋１＝21cacabn一般来说，可先求等比数列{bn}的通项，后求数列{an}的通项。例２：数列｛an｝由a1=2，an+1=313nnaa（n≥1）给出，求limnan。解：令x=313xx,得x1=1,x2=-1，于是有快乐常在an+1-1=3)1(21313nnnnaaaaan+1+1=3)1(41313nnnnaaaa∴1111nnaa=21·11nnaa设bn=11nnaa,则bn+1=21bn这样数列{bn}成首项为b1=1111aa=31,公比为21的等比数列,于是bn=31·1)21(n,由bn=11nnaa得an=nnbb11=11)21(311)21(311nn∴limnan=1○2当方程（３）出现重根同为时，由an+1－＝dcaacann))((得11na＝))((nnacadca＝cac＋))((nacacd设cn=na1得cn＋１＝cacdcn＋cac即数列{cn}的递推式总可化为“cn＋１＝acn+b（a，b为常数）型”，又一次运用不动点法求得数列{cn}的通项，从而求数列{an}的通项。例３:在数列｛an｝中，an=1,a1n=22nnaa(n=1,2……)。求an。解：令x=22xx,得x1=x2=0设bn=na1,则由a1n=22nnaa可得b1n=bn+21快乐常在∴{bn}成为首项为1,公差为21的等差数列,于是bn=1+2121nn∴an=12n需要指出的是，上述方法同样适用于方程（３）两根不同的情形。对例２，可设cn=11na（或cn=11na），我们运用上述方法来求数列｛an｝的通项。例２另解：令x=313xx,得x1=1,x2=-1，于是有an+1-1=3)1(21313nnnnaaaa∴111na=)1(23nnaa=21+12na令bn=11na，则b1=111a=1，bn+1=2bn+21令＝2+21得＝－21bn+1+21=2bn+21+21=2(bn+21)∴{bn+21}成首项为b1+21=23，公比为的等比数列，于是有bn+21=23×2n-1∴bn=23×2n-1-21=21(3×2n-1-1)代入bn=11na得an=1+nb1=1+12321n=1+11)21(311)21(32nn∴limnan=1小结解法：一般地，设1，2是关于的方程abcdlll+=+……………③的两个根，对递推式为1nnnaabacad++=+（,,,abcd为常数）型的数列，可以有以快乐常在下两种方法来求其通项：[解法一]：1设cn=na1（1或2）得cn＋１＝cacdcn＋cac，即{}nc的递推式为1nnaaab+=+（,ab为常数）型的数列；2求{}nc的通项，再求{}na的通项。[解法二]:1设nnnaba1112，证数列{bn}成首项为b1=aa1112的等比数列；2求{}nb的通项，再求{}na的通项。当方程③有重根时，[解法二]无法进行。以下是2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题第（1）小题的不同解法：20.（本小题共14分）设b0,数列na满足a1=b，11(2)22nnnnbaanan.（1）求数列na的通项公式；[解法一]：（1）由111112221nnnnnnabnbaanaaannn----×-=?+-+-设nnnba=，则有11111212112nnnnnnnbbbbbbbbbbb-----+=?=?+①当2b=时，2nnb=，2na=②当2b¹时，有1121()22nnbbbbb--=---\数列1{}2nbb--为首项为1111222(2)bbbbbb-=-=----，公比为2b的等比数列1122()2(2)nnbbbbb--=---即112211212()()[1()]2(2)2(2)2nnnnbbbbbbbbbb-=-=-=------快乐常在(2)122[1()]2nnnnnnnbbabbb-\==---综上得1232232122222nnnnnnnnnbabbbbb------=+??+??*()nNÎ[解法二]:由111112221nnnnnnabnbaanaaannn----×-=?+-+-设nnnba=，则有111111,2nnnbbbbbab--===+令2bxxx=+，得120,2xxb==-由112nnnbbbb--=+……………………………………………………①得11112[(2)](2)(2)22nnnnnbbbbbbbbb--------=--=++…………………………②②①得()nnbbbb22(){}nnbbb2是首项为()()bbbb21121，公比为qb2的等比数列，于是()()()nnnbbbbb21221解得12[1()]2nnbbb=--(2)122[1()]2nnnnnnnbbabbb-\==---即1232232122222nnnnnnnnnbabbbbb------=+??+??*()nNÎ*关于周期数列：1.已知数列na中，*1111,2,2nnaannNa，则100a=快乐常在2.已知数列na中，*1111,2,2nnaannNa，则2012a=3.已知数列na中，*1111,12,2nnaannNa，则15a=4.数列na中，13,a111(2)1nnnaana，求这个数列的通项公式，并计算122000aaa的值。因为以上数列的递推式其对应的函数f(x)都是周期函数（0a，为常数）：(1)1()(()0)()fxafxfx+=?，则)(xf的周期T=2a；(2)1()(()0)()fxafxfx+=-?，则)(xf的周期T=2a；(3)1()1(()0)()fxafxfx+=-?，则)(xf的周期T=3a；(4)1()()(()1)1()fxfxafxfx++=?-，则)(xf的周期T=4a；故以上数列数列均为周期数列，这几道题目的按周期数列去做更方便。三、递推式为an+1=dabann22(b,d为常数)型的数列先看2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题：已知函数f(x)=x2+x–1,α,β是方程f(x)＝０的两个根（αβ）,f/（x）是f(x)的导数，a1=1,an+1=an–)(')(nnafaf(n=1,2……)(1)求α,β的值;(2)证明:对任意的正整数n,都有anα;(3)记bn=lnnnaa(n=1,2……),求数列{bn}的前n项和sn。这道题第(3)小题可以按如下来求bn:快乐常在an+1–β=1212nnaa–β=1212nnaa–251=12251)51(12nnnaaa=12)251(2nnaa=12)(2nnaa……………………………(４)同理an+1–α=1212nnaa–α=12)(2nnaa……………………………(５)(４)÷(５)得:11nnaa=22)()(nnaa于是得ln11nnaa=2lnnnaa设bn=lnnnaa,则bn+1=2bn，故数列{bn}成首项为b1=ln25112511=4ln251，公比为2的等比数列,故bn=2n+1ln251。当然由bn=2ln)251()251(nnaa可求an。方程f(x)=x2+x–1=0的两根α,β与递推式an+1=an–)(')(nnafaf=1212nnaa有何关系呢?仔细推敲,方程x2+x–1=0正好是不动点方程x=1212xx的变形，α,β也是不动点方程x=1212xx的两根。是不是所有递推式形如“an+1=）dcbadcabaaannn为常数,,,(2”的数列都可用上述换元方法求an通项呢？下面举一反例给予否定。例如：对an+1=1332nnaa(n=1,2……)，令x=1332xx解得x1=1,x2=-23快乐常在an+1–1=1332nnaa–1=13232nnana显然an2–3an+2(an–1)2。当系数a,b,c,d怎样时，才可运用上述换元方法求呢？an+1-α=dcadbacaadcabaaannnnnn)(22令an2+(a–cα)an+(b–dα)=(an–α)2=222nnaa由恒等式得：22acabdaaaì-=-ïïíï-=ïîÞ2020(6)acdbaaìï=ïïï=íïïï+-=ïî把(６)式中α改为x得:x2+dx–b=0………………(７)方程（７）正好是当a=0,c=2时递推式“an+1=dabann22”的不动点方程x=dxbx22的变形。所以,对已知初始值a1(或数列｛an｝的某一项),递推式为