二次函数与相似三角形综合题

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O二次函数与相似三角形综合题黄陂区实验中学邓静教学目标:1、会求二次函数解析式;2、根据条件寻找或构造相似三角形,在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度,从而得出点的坐标。教学重点:1、求二次函数解析式;2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。教学难点:根据条件构造相似三角形解决问题。情感与态度:1、培养学生积极参与教学学习活动的兴趣,增强数学学习的好奇心和求知欲。2、使学生感受在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼学生克服困难的意志,建立自信心。3、培养学生科学探索的精神。教学过程:一、复习巩固如图,抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A(-1,0),B(m,0)两点,与y轴交于C点,且∠ACB=90°,求抛物线的解析式.分析:OC2=OA·OB∴4=1×m,m=4∴B(4,0)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-4)代入C点(0,-2)∴抛物线解析式为213222yxx.二、新授例题、如图,直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交于B、C,经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2,(1)求抛物线解析式;(2)连结AC,请问在x轴上是否存在点Q,使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB相似,若存在,请求出Q点坐标;若不存在,说明理由.(3)D点为第四象限的抛物线上一点,过点D作DE⊥x轴,交CB于E,垂足于H,过D作DF⊥CB,垂足为F,交x轴于G,试问是否存在这样的点D,使得△DEF的周长恰好被x轴平分?若能,请求出D点坐标;若不能,请说明理由.[解](1)直线3yx与x轴相交于点B,当0y时,3x,点B的坐标为(30),.又抛物线过x轴上的AB,两点,且对称轴为2x,根据抛物线的对称性,点A的坐标为(10),.3yx过点C,易知(03)C,,3c.又抛物线2yaxbxc过点(10)(30)AB,,,,∴(1)(3)yaxx,经过C点(0,3)243yxx.(2)连结PB,由2243(2)1yxxx,得(21)P,,设抛物线的对称轴交x轴于点M,在RtPBM△中,1PMMB,452PBMPB,∠.由点(30)(03)BC,,,易得3OBOC,在等腰直角三角形OBC中,45ABC∠,由勾股定理,得32BC.假设在x轴上存在点Q,使得以点PBQ,,为顶点的三角形与ABC△相似.①当BQPBBCAB,45PBQABC∠∠时,PBQABC△∽△.即2232BQ,3BQ,又3BO,点Q与点O重合,1Q的坐标是(00),.②当QBPBABBC,45QBPABC∠∠时,QBPABC△∽△.即2232QB,23QB.ABCPOxy2x21P273333OBOQOBQB,,2Q的坐标是703,.18045135135PBxBACPBxBAC,,∠∠∠∠.点Q不可能在B点右侧的x轴上.综上所述,在x轴上存在两点127(00)03QQ,,,,能使得以点PBQ,,为顶点的三角形与ABC△相似.(3)设D(a,a2-4a+3),则E(a,-a+3)△DFE∽△BOC∴DE:BC=L△DEF:L△BOC∴2332aa=632DFEL∴L△DEF=(21)×(-a2+3a)∴DH+DG=12DFEL=(21)DH=2(21)(43)aa=12(21)×(-a2+3a)∴243aa=21(3)2aa∴a1=2,a2=3(舍)∴D(2,-1)应用变式:1、在此抛物线上是否存在P点?使得∠1+∠2=45°,若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.分析:(1)延长CP与x轴交于E点,∠1+∠2=45°=∠ABC=∠E+∠2∴∠1=∠E,ExENx又∵∠COA公共∴△OCA∽△OEC∴OC2=OA·OEOC2=9=1×OE∴OE=9∴E(9,0)∴直线解析式133yx联立直线与抛物线∴P的坐标为(113,169)(2)P点与A点重合,P(1,0),∴综上所述,P的坐标为(1116,39),(1,0).2、在上题抛物线中,P为抛物线上一点,PE⊥BC于E,且CE=3PE,求P点坐标.分析:连AC、PC,证△PEC∽△OAC,∠OCA=∠PCE,∴∠PCA=45°.延长CP交x轴于N,△ACB∽△ANC,AC2=AB·AN,∴N(6,0),1:32CNyx,联立抛物线,得P(75,24).三、小结点的坐标是综合题的立足点(求解析式),又是综合题的制高点(求满足条件的点的坐标或存在性探求),求点的坐标一般历经下面两个关键步骤:(1)定位(2)计算四、作业练习1、如图,抛物线22yxxx交轴于A、B两点(A点在B点左侧),交y轴于C(0,-2),过A、C画直线,点M在y轴右侧的抛物线上,从M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H,且ΔCHM∽ΔAOC,求M点坐标.

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