二次函数与相似三角形的综合

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归类探究分层集训全效学习中考学练测全效学习中考学练测第3课时二次函数与相似三角形的综合归类探究分层集训全效学习中考学练测(1)求c的值及直线AC的函数表达式;(2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线AC交于点M,连结MO并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.[2017·宁波]如图5-3-1,抛物线y=14x2+14x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连结AB,点C6,152在抛物线上,直线AC与y轴交于点D.归类探究分层集训全效学习中考学练测①求证:△APM∽△AON;②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).【解析】(1)将点C的坐标代入二次函数的表达式中,可求出点c的值;令y=0,求得点A的坐标,利用待定系数法求得直线AC的函数表达式;图5-3-1例1答图归类探究分层集训全效学习中考学练测(2)①分别求出点D,点B的坐标,求得∠OAB=∠OAD,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半,知OM=PM,∴∠MOP=∠MPO,易求∠APM=∠AON,利用两角对应相等的两个三角形相似,结论易证;②由△APM∽△AON,得AMAN=APAO,分别用含m的代数式表示AM,AP,AO的值,即可求出AN的值.解:(1)把点C6,152代入二次函数,得152=9+32+c,解得c=-3.归类探究分层集训全效学习中考学练测∴y=14x2+14x-3,令y=0,则14x2+14x-3=0,解得x1=-4,x2=3.∴A(-4,0).设直线AC的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把A(-4,0),C6,152代入,得0=-4k+b,152=6k+b,解得k=34,b=3.∴直线AC的函数表达式为y=34x+3.归类探究分层集训全效学习中考学练测∴∠OAB=∠OAD.∵在Rt△POQ中,M为PQ的中点,∴OM=MP.∴∠MOP=∠MPO,∵∠MOP=∠AON,∴∠APM=∠AON,∴△APM∽△AON.②如答图,过点M作ME⊥x轴于点E,又∵OM=MP,∴OE=EP.∵点M横坐标为m,(2)①∵在Rt△AOB中,tan∠OAB=OBOA=34,在Rt△AOD中,tan∠OAD=ODOA=34,归类探究分层集训全效学习中考学练测∴AE=m+4,AP=2m+4.【点悟】此类问题要注意当相似三角形的对应边和对应角不明确时,要分类讨论,以免漏解.∵tan∠OAD=34,∴cos∠EAM=cos∠OAD=45.∴AM=54AE=5(m+4)4.由△APM∽△AON,得AMAN=APAO,∴AN=5m+202m+4.归类探究分层集训全效学习中考学练测1.[2016·十堰]如图5-3-2①,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+1经过点A(4,-3),顶点为B,P为抛物线上的一个动点,l是过点(0,2)且垂直于y轴的直线,过点P作PH⊥l,垂足为H,连结PO.图5-3-2归类探究分层集训全效学习中考学练测(1)求抛物线的表达式,并写出其顶点B的坐标;(2)①当点P运动到点A处时,计算:PO=_____,PH=_____,由此发现,PO______PH(选填“>”“<”或“=”);②当点P在抛物线上运动时,猜想PO与PH有什么数量关系,并证明你的猜想;(3)如图②,设点C(1,-2),问是否存在点P,使得以P,O,H为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.55=归类探究分层集训全效学习中考学练测解:(1)∵抛物线y=ax2+1经过点A(4,-3),∴-3=16a+1,解得a=-14,∴抛物线的表达式为y=-14x2+1,顶点B坐标为(0,1);(2)①当点P运动到点A处时,PO=5,PH=5,PO=PH;②结论:PO=PH.理由:设点P坐标为m,-14m2+1,∵PH=2--14m2+1=14m2+1,归类探究分层集训全效学习中考学练测PO=m2+-14m2+12=14m2+1,∴PO=PH;(3)存在,理由:∵BC=12+32=10,AC=12+32=10,AB=42+42=42,∴BC=AC,∵PO=PH,以P,O,H为顶点的三角形与△ABC相似,∴PH与CB,PO与CA是对应边,归类探究分层集训全效学习中考学练测∴PHHO=CBBA,设点Pm,-14m2+1,∴14m2+1m2+4=1042,解得m=±1,∴点P坐标为1,34或-1,34.归类探究分层集训全效学习中考学练测[2017·湖州]如图5-3-3,在平面直角坐标系xOy中,已知A,B两点的坐标分别为(-4,0),(4,0),C(m,0)是线段AB上一点(与A,B点不重合),抛物线L1:y=ax2+b1x+c1(a<0)经过点A,C,顶点为D,抛物线L2:y=ax2+b2x+c2(a<0)经过点C,B,顶点为E,AD,BE的延长线相交于点F.(2)若a=-1,AF⊥BF,求m的值;(1)若a=-12,m=-1,求抛物线L1,L2的表达式;归类探究分层集训全效学习中考学练测(3)是否存在这样的实数a(a<0),无论m取何值,直线AF与BF都不可能互相垂直?若存在,请直接写出a的两个不同的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)把m=-1代入得到已知点坐标,利用待定系数法求出函数表达式;例2答图图5-3-3归类探究分层集训全效学习中考学练测(2)如答图,过点D作DG⊥x轴于点G,过点E作EH⊥x轴于点H,把a=-1代入函数表达式,然后结合(-4,0),(m,0)代入求出函数表达式L1,然后分别求出D点,G点坐标,得到DG,AG的长,同理得到L2,再根据三角形相似的判定与性质构造方程求解;(3)由(1)(2)的解答,直接写出答案.解:(1)由题意得-12×(-1)2-b1+c1=0,-12×(-4)2-4b1+c1=0,解得b1=-52,c1=-2.归类探究分层集训全效学习中考学练测∴抛物线L1的表达式是y=-12x2-52x-2.同理-12×(-1)2-b2+c2=0,-12×42+4b2+c2=0,解得b2=32,c2=2.∴抛物线L2的表达式是y=-12x2+32x+2,(2)如答图,过点D作DG⊥x轴于点G,过点E作EH⊥x轴于点H,由题意得0=-16-4b1+c1,0=-m2+b1m+c1,解得b1=m-4,c1=4m,归类探究分层集训全效学习中考学练测∵AF⊥BF,DG⊥x轴,EH⊥x轴,∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°,∴∠ADG=∠ABF=90°-∠BAF,∴抛物线L1的表达式是y=-x2+(m-4)x+4m.∴点D的坐标是m-42,m2+8m+164.∴DG=m2+8m+164=(m+4)24,AG=m+42.同理可得抛物线L2的表达式为y=-x2+(m+4)x-4m.∴EH=m2-8m+164=(m-4)24,BH=4-m2.归类探究分层集训全效学习中考学练测∴△ADG∽△EBH,∴DGBH=AGEH,∴(m+4)244-m2=m+42(m-4)24,化简,得m2=12,解得m=±23.(3)存在,例如:a=-13,a=-14.(答案不唯一)归类探究分层集训全效学习中考学练测(1)试求该抛物线表达式;(2)如图①,若点P在第三象限,四边形PCOF是平行四边形,求P点的坐标;(3)如图②,过点P作PH⊥y轴,垂足为H,连结AC.[2017·郴州]如图5-3-4,已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(2,0),C(0,-4),直线l:y=-12x-4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2+85x+c上的一动点,过点P作PE⊥x轴,垂足为E,交直线l于点F.归类探究分层集训全效学习中考学练测图5-3-4①求证:△ACD是直角三角形;②试问当P点横坐标为何值时,使得以点P,C,H为顶点的三角形与△ACD相似?【解析】(1)直接利用待定系数法求出a,c的值进而得出答案;归类探究分层集训全效学习中考学练测(3)①分别求出A,C,D三点的坐标,利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形;②根据对应角的不同分类讨论以P,C,H为顶点的三角形与△ACD相似的情况,从而确定P的横坐标.(2)设P点的坐标为m,15m2+85m-4,进而用含m的代数式表示点F的坐标以及PF的长,然后根据平行四边形的性质求出m的值,从而确定P点的坐标;归类探究分层集训全效学习中考学练测解:(1)由题意得4a+85×2+c=0,c=-4,解得a=15,c=-4,∴抛物线的表达式为y=15x2+85x-4;(2)设Pm,15m2+85m-4,则Fm,-12m-4,∴PF=-12m-4-15m2+85m-4=-15m2-2110m.∵PE⊥x轴,∴PF∥OC,归类探究分层集训全效学习中考学练测∴当PF=OC时,四边形PCOF是平行四边形,∴-15m2-2110m=4,解得m1=-52,m2=-8,当m1=-52时,15m2+85m-4=-274,当m2=-8时,15m2+85m-4=-4,∴P点的坐标为P1-52,-274,P2(-8,-4).(3)①证明:对于y=-12x-4,令y=0,解得x=-8,∴D(-8,0),∴OD=8,∵A(2,0),C(0,-4),归类探究分层集训全效学习中考学练测∴AD=2-(-8)=10,AC2=22+42=20,DC2=82+42=80,又∵AD2=100,∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°.②由①得∠ACD=90°,设点P的坐标为n,15n2+85n-4,(Ⅰ)当△ACD∽△CHP时,ACCD=CHHP,即2545=-15n2-85n-n或2545=15n2+85n-n,归类探究分层集训全效学习中考学练测解得n1=0(舍去),n2=-5.5,或n3=0(舍去),n4=-10.5;(Ⅱ)当△ACD∽△PHC时,ACCD=PHHC,即2545=-n-15n2-85n或2545=-n15n2+85n,解得n5=0(舍),n6=2或n7=0(舍),n8=-18.综上,当P点横坐标为-5.5或-10.5或2或-18时,以P,C,H为顶点的三角形与△ACD相似.归类探究分层集训全效学习中考学练测

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