高数中的重要定理与公式及其证明(三)

在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营01高数中的重要定理与公式及其证明（三）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。14）单调性定理：设函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab上可导。如果在(,)ab上有'()0fx，那么函数()fx在[,]ab上单调递增。如果在(,)ab上有'()0fx，那么函数()fx在[,]ab上单调递减。【点评】：这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解，但实际证明中却不能用图形来解释，需要更严密的证明过程。证明：仅证明'()0fx的情形，'()0fx的情形类似。12,(,)xxab，假定12xx则利用拉个朗日中值定理可得，22,xx使得'1212()()()fxfxfxx。由于'0f，因此12()()0fxfx。由12,xx的任意性，可知函数()fx在[,]ab上单调递增。15）(极值第一充分条件)设函数()fx在0x处连续，并在0x的某去心邻域0(,)Ux内可导。ⅰ）若00(,)xxx时，'()0,fx而00(,)xxx时，'()0,fx则()fx在0x处取得极大值在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营02ⅱ）若00(,)xxx时，'()0,fx而00(,)xxx时，'()0,fx则()fx在0x处取得极小值；ⅲ）若0(,)xUx时，'()fx符号保持不变，则()fx在0x处没有极值；【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。16）(极值第二充分条件)设函数()fx在0x处存在二阶导数且'0()0fx，那么ⅰ）若''0()0,fx则()fx在0x处取得极小值；ⅱ）若''0()0,fx则()fx在0x处取得极大值。【点评】：这个定理是判断极值点最常用的方法，证明过程需要用到泰勒公式。证明：仅证明''0()0,fx的情形，''0()0,fx的情形类似。由于()fx在0x处存在二阶导数，由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在0x的某领域内成立220'''00000()2xxfxfxfxxxfxoxx由于'0()0fx，因此220''0002''0200020()22xxfxfxfxoxxoxxfxfxxxxx由高阶无穷小的定义可知，当0xx时，有20200oxxxx，又由于''002fx，因此在0x的某领域内成立2''002002oxxfxxx。进一步，我们有2''020000202oxxfxfxxxfxxx。在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营03也即，在0x的某领域内成立0()fxfx。由极值点的定义可知()fx在0x处取得极小值。在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营0416）洛必达法则设函数(),()fxgx在xa的空心邻域内可导，'()0gx，且''()lim()xafxAgx则有()lim()xafxAgx，其中A可以是有限数，也可以是,。【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考点，需要引起注意。具体证明过程见教材。