2015-2016学年人教版高中数学必修5课件12应用举例-第二课时正余弦定理在三角形中的应用

数学第二课时正、余弦定理在三角形中的应用数学自主预习课堂探究数学自主预习1.掌握三角形的面积公式,会用公式计算三角形面积.2.会用正、余弦定理解决三角形中一些恒等式的证明问题.3.会用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题.课标要求数学知识梳理三角形常用面积公式(1)S=12a·ha(ha表示a边上的高);(2)S=12absinC=12acsinB=1sin2bcA;(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).数学自我检测B1.(三角形面积的计算)在△ABC中,A=60°,AB=1,AC=2,则S△ABC的值为()(A)12(B)32(C)3(D)23解析:S△ABC=12AB·ACsinA=sin60°=32.故选B.数学A2.(平面图形中线段长度的计算)在△ABC中,设BC=a,AC=b,且|a|=2,|b|=3,a·b=-3,则AB的长为()(A)723(B)723(C)73(D)7-23解析:a·b=|a||b|cosC=23cosC=-3,所以cosC=-12,C=120°,AB2=a2+b2-2|a||b|cosC=4+3-43×(-12)=7+23,所以AB=723.故选A.数学3.(三角形中角度的计算)如图所示,在地面上有一旗杆OP,测得它的高度10m,在地面上取一基线AB,AB=20m,在A处测得P点的仰角∠OAP=30°,在B处测得P点的仰角∠OBP=45°,则∠AOB=.解析:在Rt△PAO中,AO=tan30PO=103(m),在Rt△PBO中,BO=tan45PO=10(m),在△ABO中,由余弦定理得,cos∠AOB=2222AOBOABAOBO=3001004002003=0,则∠AOB=π2.答案:π2数学【教师备用】1.已知三角形ABC的三边长a,b,c,怎样计算该三角形的面积?课堂探究三角形面积的计算题型一【提示】可以用余弦定理计算cosC,再得出sinC,利用S=12absinC可求.数学【提示】除了正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理外,还常用到的结论有:(1)A+B=π-C,2AB=π2-2C.2.解决与三角形有关的问题,常用到哪些定理及常见结论?(2)在三角形中大边对大角,反之亦然.(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(4)三角形内的诱导公式sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC(C≠π2),sin2AB=cos2C,cos2AB=sin2C.数学解:(1)因为3a=2csinA,所以sinaA=23c.由正弦定理知sinaA=sincC,所以sincC=23c,所以sinC=32.因为△ABC是锐角三角形,所以C=π3.【例1】在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且3a=2csinA.(1)确定角C的大小;(2)若c=7,且△ABC的面积为332,求a+b的值.数学(2)因为c=7,C=π3,由面积公式得:12absinπ3=332,即ab=6.由余弦定理得a2+b2-2abcosπ3=7,所以a2+b2-ab=7,即(a+b)2-3ab=7,所以(a+b)2=25,所以a+b=5.数学题后反思(1)本题采用了整体代换的思想,把a+b,ab作为整体,求解过程既方便又灵活.(2)三角形面积公式有多种形式,根据题中的条件选择最合适的面积公式.在解三角形中通常选用S=12absinC=12bcsinA=12acsinB,这个公式中含有正弦值,可以和正弦定理建立关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是根据题中的条件选择正确的变换方向.数学解:(1)因为3a=2csinA,所以sinaA=23c,所以sincC=23c,从而sinC=32.所以C=π3或2π3.即时训练11:在本题中,把“锐角”去掉,其他条件不变.(1)确定角C的大小;(2)若c=7,△ABC面积为332,求a+b的值.数学(2)当C=π3时,由面积公式知12absinπ3=332,即ab=6,又由余弦定理得,a2+b2-2abcosπ3=7,所以a2+b2-ab=7.即(a+b)2-3ab=7,所以(a+b)2=25.所以a+b=5.当C=2π3时,由面积公式得12absin2π3=332,即ab=6.又由余弦定理得a2+b2-2abcos2π3=7,所以a2+b2+ab=7.即(a+b)2-ab=7,所以(a+b)2=13,所以a+b=13.数学解:由三角形面积公式,得12×3×1·sinA=2,故sinA=223.因为sin2A+cos2A=1,所以cosA=±21sinA=±819=±13.①当cosA=13时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×3×1×13=8,所以a=22.②当cosA=-13时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×3×1×(-13)=12.所以a=23.【思维激活】(2014高考安徽卷)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,△ABC的面积为2,求cosA与a的值.数学解:(1)因为角A,B,C为△ABC的内角,且B=π3,cosA=45,所以C=2π3-A,sinA=35.于是sinC=sin(2π3-A)=32cosA+12sinA=34310.【备用例1】在△ABC中,角A、B,C的对边分别为a,b,c,B=π3,cosA=45,b=3.(1)求sinC的值;(2)求△ABC的面积.数学(2)由(1)知sinA=35,sinC=34310.又因为B=π3,b=3,所以在△ABC中,由正弦定理得a=sinsinbAB=65.于是△ABC的面积S=12absinC=12×65×3×34310=369350.数学平面图形中线段长度的计算题型二【例2】如图,在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.解:在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos∠ADC=2222ADDCACADDC=100361962106=-12,所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.在△ABD中,AD=10,B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理得sinABADB=sinADB,所以AB=sinsinADADBB=10sin60sin45=310222=56.数学题后反思三角形中的几何计算问题的解题要点及突破点(1)正确挖掘图形中的几何条件是解题要点,善于应用正弦定理和余弦定理,只需解三角形.(2)求解此类问题的突破点是仔细观察认真分析,迅速发现图形中较为隐蔽的几何条件.数学解:(1)由题设知,2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,因为sinB≠0,所以cosA=12.由于0Aπ,故A=π3.即时训练2-1:设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC.(1)求角A的大小;(2)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长.数学(2)因为a2=b2+c2-2bccosA=4+1-2×2×1×12=3,所以a2+c2=b2,B=π2.又BD=32,AB=1,所以AD=314=72.数学三角形中三角恒等式的证明问题题型三【例3】在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.求证:222abc=sinsinABC.证明:法一由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,得a2-b2=b2-a2+2c(acosB-bcosA),即a2-b2=c(acosB-bcosA),变形得222abc=coscosaBbAc=accosB-bccosA.由正弦定理sinaA=sinbB=sincC,得ac=sinsinAC,bc=sinsinBC,所以222abc=sincossincossinABBAC=sinsinABC.数学法二sinsinABC=sincoscossinsinABABC=sinsinACcosB-sinsinBCcosA=ac·2222acbac-bc·2222bcabc=22222acbc-22222bcac=22222abc=222abc.所以原等式成立.数学证明:左边=22222222cacbaaccbcabbc=2222acba·2222bbca=ba=sinsinBA=右边,所以coscosacBbcA=sinsinBA.即时训练31:在△ABC中,求证:coscosacBbcA=sinsinBA.数学证明:法一左边=tantanAB=sincosAA·cossinBB=sinsinAB·coscosBA=ab·22222222acbacbcabc=222222acbbca=右边,所以等式成立.【备用例2】在△ABC中,角A、B、C对应的边分别为a、b、c,求证:tantanAB=222222acbbca.数学法二右边=222222acbbca=2cos2cosacBbcA=ab·coscosBA=sinsinAB·coscosBA=sincosAA·cossinBB=tanA·1tanB=tantanAB=左边,所以等式成立.数学点击进入课时作业点击进入周练卷数学谢谢观赏Thanks!