全等三角形习题选(含答案)

1经典三角形证明题选讲（含答案）三角形辅助线做法线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD1.证明：延长AD到E,使DE=AD,则△ADC≌△EBD∴BE=AC=2在△ABE中,AB-BEAEAB+BE，∴10-22AD10+24AD6又AD是整数,则AD=5思路点拨：三角形中有中线，延长中线等中线。2.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠22.证明：连接BF和EF.∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴△BCF≌△EDF(边角边).∴BF=EF,∠CBF=∠DEF.连接BE.在△BEF中,BF=EF，∴∠EBF=∠BEF又∵∠ABC=∠AED，∴∠ABE=∠AEB.∴AB=AE在△ABF和△AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF.∴△ABF≌△AEF∴∠1=∠2.思路点拨：解答本题的关键是能够想到证明AB=AE,而AB、AE在同一个△ABE中，可利用∠ABE=∠AEB来证明.同一三角形中线段等，可用等角对等边3.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴△ADC≌△GDE（AAS）∴EG=AC∵EF∥AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC思路点拨：角平分线平行线，等腰三角形来添。4.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C证明：延长AC到E使CE=CD，连接ED，则∠CDE=∠E∵AB=AC+CD∴AB=AC+CE=AE又∵∠BAD=∠EAD，AD=AD∴△BAD≌△EAD∴∠B=∠E∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠ACB=2∠BABCDEF21ADBCBACDF21E2方法二在AC上截取AE=AB，连接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BD，AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C思路点拨：线段等于线段和，理应截长或补短5.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：过C作CF⊥AD交AD的延长线于F.在△CFA和△CEA中∴∠CFA＝∠CEA＝90°又∵∠CAF＝∠CAE，AC=AC∴△CFA≌△CEA，∴AE＝AF＝AD＋DF，CE=CF∵∠B＋∠ADC＝180°，∠FDC＋∠ADC＝180°∴∠B＝∠FDCE在△CEB和△CFD中，CE=CF,∠CEB＝∠CFD＝90°,∠B＝∠FDCE∴△CEB≌△CFD∴BE＝DF∴AE＝AD＋BE思路点拨：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现6.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。证明:在BC上截取BF=BA,连接EF.∵∠ABE=∠FBE,BE=BE,∴⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°;又∵∠EFB+∠EFC=180°,∴∠EFC=∠D;又∵∠FCE=∠DCE,CE=CE,∴⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.∴BC=BF+FC=AB+CD.思路点拨：线段等于线段和，理应截长或补短法二：延长BE交CD的延长线于点F，易证BC=FC=FD+DC又∵∠BCE=∠FCE∴BE=FE;易证⊿ABE≌ΔDFE∴AB=FD∴BC=AB+DC法三：易证∠BEC=90°,取BC中点F，连接EF,则BFBCEF21；∴∠FEB=∠FBE=∠ABE∴AB∥EF同理DC∥EF又∵F为BC中点∴E为BC中点∴)(21DCABEF∴BC=AB+DC思路点拨：三角形两边有中点，连接可得中位线。DCBA3梯形一腰有中点，亦可尝试中位线法四：过E作EF//AB交BC于点F,则∠FEB=∠ABE=∠FBE∴EF=BF,同理EF=CF,∴BF=CF,EF=BC21又∵EF//AB//DC∴AE=ED∴)(21DCABEF∴BC=AB+DC思路点拨：角平分线平行线，等腰三角形来添。7.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C证明：连接BE∵AB∥ED,∴∠ABE=∠DEB又∵∠EAB=∠BDE,BE=EB∴△ABE≌△DEB，∴AE=DB又∵AF=CD,EF=BC∴△AFE≌△DCB，∴∠C=∠F8．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．证明：延长AD至H交BC于H;∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB∵∠1=∠2，∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2;即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD∴AD⊥BC思路点拨：中线、垂线、角平分线，三线合一试试看。9．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ∴MA=MB∴∠MAB=∠MBA∵∠OAM=∠OBM=90度∴∠OAB=90-∠MAB，∠OBA=90-∠MBA∴∠OAB=∠OBA思路点拨：同一三角形中角相等，可用等边对等角DCBAFE410已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：AF⊥CD证明：同2先证出AB=AE,然后连接AC、AD,再证明△ABC≌△AED，从而AC=AD,又∵F是CD的中点，∴AF⊥CD11.如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠1=∠2，求证：BD=DC．证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB又∵∠1=∠2∴∠DBC=∠DCB∴BD=DC．12（改编）如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠ADB=∠ADC，求证：BD=DC．提示：将△ADB绕点A逆时针旋转∠BAC得△AEC，连接DE,可证出∠CDE=∠CED从而CD=CE=BD思路点拨：当题中出现等腰三角形时，可以考虑用旋转的方法打开思路，添加辅助线。特别是题中有正方形、等边三角形、等腰直角三角形时，更是如此13．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．ABCDEF5（1）证明：连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF；（2）解：上述结论仍然成立证明如下：连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF．本题也可以用证明两次三角形全等的方法14．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：(1)证明：∵DC∥AE，且DC=AE，∴四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。由AE=BE，∴△AED≌△EBC。（2）解：△AEC、△ACD、△ECD都与△AED面积相等。OEDCBA615．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．证明：∵BE⊥CE∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)∴EF=EC∴CF=2CE∵∠ABD+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴BD=2CE思路点拨：如何发现哪两个三角形全等？可以通过旋转来发现16、如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。证明：∵BE∥CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中线.17、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF证明：在△ABD与△ACD中AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠BAD=∠CAD∴∠BDF=∠FDC在△ABF与△ACF中AB=AC,∠BAD=∠CAD,AF=AF△ABF≌△ACF,∴BF=CF本题也可利用线段的垂直平分线定理来证，该证法更简洁FEDCBAMFECBAFDCBA718、如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。证明：∵AB=DCAE=DFCE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE≌△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DCBF=CE∴△ABF≌△CDE∴AF=DE本题亦可用平行四边形的知识来证明19..公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证明：∵AB平行CD（已知）∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）∵M在BC的中点（已知）∴BM=CM（中点定义）在△BME和△CMF中BE=CF（已知）∠B=∠C（已证）BM=CM（已证）∴△BME≌△CMF（SAS）∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）∴E，M，F在同一直线上思路点拨：要证明E、M、F三点在同一条直线上，只需证明∠EMF=180°20．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．证明：∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF∴△ABE≌△CDF（SAS）FEDCBA821．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．证明：连接BC∵AB=AC，∴∠EBC=∠DCB∵BD⊥AC，CE⊥AB∴∠BEC=∠CDB∵BC=CB(公共边)∴△EBC≌△DCB∴BE＝CD也可证△CEA≌△BDA，从而AE=AD,又AB=AC，∴AB-AE=AC-AD，∴BE＝CD22.已知：如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的长？解：∵∠C=∠E=90度∠B=∠EAD=90度-∠BACBC=AE∴△ABC≌△DAE∴AD=AB=523．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC证明∵AB=AC,∴∠B=∠C∵ME⊥AB，MF⊥AC∴∠MEB=∠MFC=90°又∵ME=MF，∴△BEM≌△CFM∴MB=MC24．在△ABC中，90ACB，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD于D，MNBE于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌CEB；②BEADDE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理