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在数学竞赛试题和中考中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣，为了准确计数，必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果．本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法．学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用，如数形结合思想、分类讨论思想和转化的思想，分类讨论思想在这里尤其突出，我们所使用的所有计数方法都离不开分类．下面让我们通过例题研究和熟悉几何计数的方法吧！AB、例1数线段时，可以线段的左端点进行分类，逐类分别数出线段条数后相加AC、AD、AE、AF共5条BC、BD、BE、BF共4条CD、CE、CF共3条DE、DF共2条EF共1条合计有5+4+3+2+1=15（条）（一）数线段基础训练1．共有6×(6+1)÷2=21（条）注意：这里涉及到数学中很重要的思想方法——分类的思想方法。在几何计数中怎样分类？本例所介绍的是方法（1）：按照包含同一图形进行分类；（2）先划分出基本图形，再按照包含基本图形的数目分类．你是怎样数的？如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=.2)1(nnAB、BC、CD、DE、EF;AC、BD、CE、DF；AD、BE、CF；AE、BF；AF共16条（二）数角例2BACDEO数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边以OA为一条边的角有：∠AOB∠AOC∠AOD∠AOE共4个同样还有：∠BOC，∠BOD，∠BOE共3个∠COD，∠COE共2个∠DOE共1个合计有4+3+2+1=10（个）（三）数三角形可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法）因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形。上面我们采用的方法是分类法这里采用的方法是“对应法”，这也是计数中常用的方法，这种方法实际上是数学的另一思想——转化思想的运用使用对应法时，总是在原图形中（有时需添加辅助线）找出它的某一部分作对应图形本题的解决，既有分类法又有对应法BACDEOA1B1C1D1E14×(4+1)÷2=10BACDEO顶点为O，且一边在AB上的三角形有3×4÷2=6（个）；一边在BC上的三角形有4×5÷2=10（个）；一边在AC上的三角形有3×4÷2=6（个），再加△ABC，所以共有23个三角形．基础训练5下图中共有个三角形ABCO（四）数长方形、平行四边形和正方形AM与EB对应着长方形EPNB,AM与GB对应着长方形GQNB.就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形，共6个长方形AD边上共有3条线段，其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形，所以共有3×6=18个长方形ABCDEFGHQPMN图中共有---------个长方形一般的，类似于这样的长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个线段AM与AE对应着长方形AMPE，AM与AG对应着长方形AMQG，AM与AB对应着长方形AMNB，AM与EG对应着长方形EPQG,例4横边上有8×(8+1)÷2=36条线段，纵边上有7×(7+1)÷2=28条线段，所以共有36×28=1008个平行四边形．例6（雨露招生试题）如图，图中平行四边形的个数为思考：能否像例4那样数平行四边形？可以将图形分割成几部分，使每一部分都像例4那样的图形但分割的块数越少越好3021442122）（）（思考：原图中平行四边形的个数是否等于60？假设分为如下图所示的两块，那么每块中的平行四边形的个数都是思考：如最右侧的图形中也有30个平行四边形，那么原图中平行四边形的个数是否是3×30=90？不是90，还应减去如下图所示的两个“田字格”中的各9个平行四边形，因为这18个平行四边形已经包含在前60个之中．所以，原图形中平行四边形的个数是90－18=72．注意：在使用分类计数法时，一定要注意是否有遗漏或重复计数的！例5如左、中、右三图，各包含多少个正方形？为便于叙述，我们设一个小正方形的边长为1，那么左图中边长为1的正方形的个数是3×2=6边长为2的正方形的个数是2×1=2所以左图中共有正方形3×2+2×1=8（个）中图中边长为1的正方形的个数是4×3=12边长为2的正方形的个数是3×2=6边长为3的正方形的个数是2×1=2所以中图中共有正方形4×3+3×2+2×1=20（个）右图中边长为1的正方形的个数是6×4=24边长为2的正方形的个数是5×3=15边长为3的正方形的个数是4×2=8边长为4的正方形的个数是3×1=3所以中图中共有正方形6×4+5×4+4×2+3×1=50（个）这里所采用的方法是分类法中的另一种，是：（3）按照图形的大小分类课后反思总结计数方法：1．分类计数法（1）按照包含同一图形分类；（2）按照图形所包含的“基本图形”的个数分类。（3）按照图形的大小分类；（4）按照图形的形状分类；（5）按照图形所处的位置分类．2．对应计数法几个计算公式：1．线段、角的计数公式：2．长方形、平行四边形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个212nnCn图形个数