直线与双曲线的位置关系(我的)

2.3.2双曲线的简单几何性质（2）直线与双曲线的位置关系高二数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆0∆=0∆0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交1)位置关系种类XYO种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)2)位置关系与交点个数XYOXYO相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离消去，得2222y=kx+my:xy-=1ab(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,Δ0直线与双曲线相交（两个交点）Δ=0直线与双曲线相切Δ0直线与双曲线相离②相切一点:△=0③相离:△＜0注:①相交两点:△＞0同侧：＞0异侧:＜0一点:直线与渐进线平行12xx12xx特别注意直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支一、交点——交点个数二、弦长——弦长公式三、弦的中点的问题——点差法直线与圆锥曲线相交所产生的问题：四、对称与垂直问题五、综合问题例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.(3)k=±1，或k=±；52(4)-1＜k＜1；(1)k＜或k＞；525252(2)＜k＜；52125-k1k且一、交点——交点个数1.过点P(1,1)与双曲线只有共有_______条.变题:将点P(1,1)改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?4116922yx1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.交点的一个直线XYO（1，1）。一、交点——交点个数2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________01，，3.过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是13422yx323，，2一、交点——交点个数.3,3,.3,3,2,2,2,2ABCD曲线总有公共点，则b的取值范围是（）2ykxb221xy若不论K为何值，直线与B(2009·福建)已知双曲线x212－y24＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围()A．(－33，33)B．(－3，3)C.－33，33D．[－3，3]又由双曲线方程x212－y24＝1，有双曲线的渐近线方程为y＝±33x，∴有－33≤k≤33.•答案：C二、弦长问题23xyl的方程为：设07262123222xxyxxy由4274234221221241xxxxkABABABFyx。求的弦作倾斜角为的左焦点经过双曲线31.1122练习:1.过双曲线116922yx的左焦点F1作倾角为4的直线与双曲线交于A、B两点，则|AB|=.2.双曲线的两条渐进线方程为20xy，且截直线30xy所得弦长为833，则该双曲线的方程为（）(A)2212xy(B)2214yx(C)2212yx(D)2214xyD192722练习题:已知双曲线C:2x-y=2与点P1,2.1求过点P1,2的直线l的斜率k的取值范围,使l与C有一个交点?两个交点?没有交点?2是否存在过P的弦AB,使AB的中点为P?3若Q1,1,试判断以点Q为中点的弦是否存在?y=x+1;312;223korkno23223kkk且三、弦的中点的问题——点差法11223解:假设存在P(x,y),Q(x,y)为直线L上的两点,且PQ的中点为A,则有:，即方程为\1212y-y∴=2k=2L:y-1=2(x-1)x-x方程组无解，故满足条件的L不存在。121222222121yxyx））（（））（（两式相减得：212121212yyyyxxxx,0,0342)1(2112222xxyxyyx，得：消去又：点差法202-3802032)1(2)2(212222xxkkkkxkkxky）（得消12)1(122yxxky1122解:假设存在P(x,y),Q(x,y)为直线L上的两点,且PQ的中点为A,则有:无解，故满足条件的L不存在。韦达定理不存在。上，所以这样的在直线）不，中点（，纵坐标为的中点横坐标为：，即线段），那么由（的方程为：所以直线垂直，所以，与对称则直线两点关于直线）（，使得假设存在这样的实数）、解：方法（axyyxxxyaxyaxyxyyxyxa2132,312*22AB4112L221121),B(,,A12212211不存在。所以这样的ｍ，显然不符合上式，２１ｎ＝ｘ上，那么２１直线ｙ＝ｍ，又Ｐ（ｍ，ｎ）在２３即：ｎ＝－ｘｙｙ＋ｙｙ＋ｘ）＋ｙ）（ｙｙ）＝（ｙ＋ｘ）（ｘ两式做差得：３（那么有中点为Ｐ（ｍ，ｎ），线段由题意与双曲线的两个交点，直线）（解：法会更简单。和中点问题，利用点差本题涉及到直线的斜率axnmxxxyxyxaaxyyxyx2,2,2,1313AB,21),B(,,A21212121212121212222222122111、设双曲线C：与直线相交于两个不同的点A、B。（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。（2）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值。2221(0)xyaa:1lxy5,12PAPB五、综合问题1317,06028912,,.12125.1212172222222222aaaaxaaxaax所以由得消去所以【分析】双曲线的方程是确定的，直线的方程是不定的.利用MN的垂直平分线与坐标轴所围成的面积寻找k、m的关系式，根据两者的约束条件直线l与双曲线交于不同的两点，确定k的取值范围.2.(2008·天津卷)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是Fl(-3,0)，一条渐近线方程是.(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M、N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围.520xy8122222x1(0,0).(1)yCabab双曲线的方程为设222(54)844200.kxkmxkmxm得22952abba由题意，得2245ab解得22145ykxmxy联立因为直线l交双曲线于M、N不同的两点，解析).0()2(kmkxyl的方程为设直线4554222kkm且即.15422yxC的方程为所以双曲线0)204)(45(4)8(222mkkm所以24,54kmk00ykxm25.54mk22514y()5454mkmMNxkkk线段的垂直平分线的方程从为而550.24kk或解得【回顾与反思】本题主要考查直线与直线，直线与双曲线的位置关系问题，考查学生的推理与运算能力，今后仍是高考考查的重点.),,(),,(),,(002211yxMNyxNyxM的中点设2210xxx所以),459,0(),0,459(22kmkkmyx轴的交点坐标分别为轴、此直线与281|459||459|2122kmkkm由提设可得,54||)45(2222kkkm所以).,45()25,0()0,25()45,(k所以2212121212y例3:已知双曲线方程:x-=1.21过点A0,1作直线l交双曲线于P,P两点,1若线段PP的中点在直线x=上,求直线l斜率k的取值范围,22过点B0,b作斜率为kk≠0直线,交双曲线于Q,Q两点,1若线段QQ的中点在直线x=上,求b的取值范围.2:lkx+1k0y=kx+1x22222230.12kxkxy22220.41220kkkk33,2k=12211.222kxxk13.ky=kx-1Q,Q11122202,1,,,,.2bxyxyMy12345则2211222212121212yx-=12yx-=12x+x=1y+y=-k+2by-y=kx-x12,345,11202kkb2220kbk=2280b22bb4、由双曲线上的一点P与左、右两焦点构成，求的内切圆与边的切点坐标。22194xy12FF、12PFF12PFF12FF说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点构成的三角形称之为焦点三角形，其中和为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦定理。12FF、12||||PFPF、12||FF练习:22直线m:y=kx+1和双曲线x-y=1的左支交于A,B两点,直线l过点P-2,0和线段AB的中点.1求k的取值范围.2是否存在k值,使l在y轴上的截距为1?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.kbucunzai112;2k1.直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法；2.中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标，利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算，使问题获解，但须注意检验直线与双曲线是否相交。3.涉及双曲线的参数范围问题，求解的办法是利用问题的存在性，如直线与双曲线相交时；或是运用判别式大于零列不等式求解。221.直线l:y=kx+1与双曲线C:2x-y=1右支交于不同的两点A,B1求实数k的取值范围;2是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.2.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点且互相垂直，又知C的一个焦点与点A1,2-1关于直线y=x-1对称.1求双曲线C的方程.2是否存在直线y=kx+b与双曲线C交于P,Q两点,使2PQ恰被点,1平分?33设直线y=mx+1与双曲线C的右支交于B,C两点,另一直线l经过M-2,0及CB的中点,求直线l在y轴上的截距t的取值范围.作业：