2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

2015年全国初中数学联合竞赛试题第一试（A）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a，b，c满足：3abc，2224abc，则222222222abbccacab（）A.0B.3C.6D.92．若抛物线2yxbxc与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m－8，n），则n＝（）A.8B.12C.16D.243．矩形ABCD中，AD＝5，AB＝10，E、F分别为矩形外的两点，BE＝DF＝4，AF＝CE＝3，则EF＝（）A．415B．15C．221D．1024．已知O为䝐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数1(0)yxx的图象上，位于第二象限的瀹B在反比例函数4(0)yxx的图象上﬌且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为（）A．12B．22C．1D．25．已知实数x（y满足关系式1xyxy，则22xy的最小值为（）A．322B．642C．1D．6426．设n是小于100的正整数且使2535nn是15的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是（）A．285B．350C．540D．635二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a，b是一元二次方程210xx的两根，则32234aba的值为.8．从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率为.9．已知锐角△ABC的外心为O，AO交BC于D，E、F分别为△ABD、△ACD的外心，若AB＞AC，EF＝BC，则∠C－∠B＝.10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为.第一试（B）一、选择题（每小题7分，共42分）1．设实数a，b，c满足：3abc，2224abc，则222222222abbccacab（）A.12B.9C.6D.32．若抛物线2yxbxc与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m－8，n），则n＝（）A.8B.12C.16D.243．矩形ABCD中，AD＝5，AB＝10，E、F分别为矩形外的两点，BE＝DF＝4，AF＝CE＝3，则EF＝（）A．415B．15C．221D．1024．已知实数x，y满足关系式223xxyy，则2()xy的最大值为（）A．3B．6C．9D．125．已知O为坐标原点，位于第一象限的点A在反比例函数1(0)yxx的图象上，位于第二象限的点B在反比例函数4(0)yxx的图象上，且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为（）A．12B．22C．1D．26．设n是小于100的正整数且使2232nn是6的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是（）A．784B．850C．1536D．1634二、填空题（每小题7分，共28分）7．设a，b是一元二次方程210xx的两根，则32234aba的值为.8．三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为.9．C、D两点在以AB为直径的半圆周上，AD平分∠BAC，AB＝20，AD＝415，则AC的长为.10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a，b，c，d，e，使得ab＋bc＋cd＋de＋ea最小，则这个最小值为.ABCDEFABCDFOEAOBDC第二试（A）1．（20分）关于x的方程2221xmxx有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围.2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且AC⊥BD，AB＝AC.过点D作DF⊥BD，交BA的延长线于点F，∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N.（1）证明：∠BAD＝3∠DAC；（2）如果BFDFCDBDAC，证明：MN＝MD.3．（25分）设正整数m，n满足：关于x的方程()()xmxnxmn至少有一个正整数解，证明：222()5mnmn.第二试（B）1．（20分）若正数a，b满足ab＝1，求11112Mab的最小值.2．（25分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且AC⊥BD，AB＝AC＝BD.过点D作DF⊥BD，交BA的延长线于点F，∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N.（1）证明：∠BAD＝3∠DAC；（2）如果MN＝MD，证明：BF＝CD＋DF.3．（25分）若关于x的方程2343410xxk至少有一个正整数根，求满足条件的正整数k的值.ABCDPFNEMABCDFMEN2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试（A）1.解：D.提示：∵3abc，2224abc，∴222222222444(2)(2)(2)222222abbccacabcabcabcab6()9abc.2.解：C.提示：依题意，有22(8)(8)nmbmcmbmc，于是可得82bm.∵抛物线2yxbxc与x轴只有一个公共点，∴240bc，∴221(4)4cbm.因此222(82)(4)16nmbmcmmmm.3.解：C.提示：易知∠AFD＝∠BEC＝90°，△BEC≌△DFA，∴∠DAF＝∠BCE.延长FA，EB交于点G.∵∠GAB＝90°－∠DAF＝∠ADF，∠GBA＝90°－∠CBE＝∠BCE＝∠DAF，∴△BGA∽△AFD，且∠AGB＝90°，∴AG＝8，BG＝6，∴GF＝11，GE＝10，∴22221EFGEGF.4.解：A.提示：过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足为C、D.由OA⊥OB得∠AOB＝90°，于是可得△AOC∽△OBD，∴||11|||4|2AOCAAOBDBBSxyOAOCACABOOBSODBDxy.5.解：B.提示：设xyt，则由题设条件可知11xyxyt，∴x，y是关于m的一元二次方程210mtmt的两个实数根，于是有：24(1)0tt，解得222t或222t.又∵22222()22(1)(1)3xyxyxyttt，∴当222t（即12xy）时，22xy取得最小值，最小值为2(2221)3642.6.解：D.提示：∵2535nn是15的倍数，∴25|(535)nn，∴5|3n，∴5|n.设5nm（m是正整数），则2222535125155120155(1)nnmmmmm.∵2535nn是15的倍数，∴21m是3的倍数，∴31mk或32mk，其中k是非负整数.∴5(31)155nkk或5(32)1510nkk，其中k是非负整数.∴符合条件的所有正整数n的和是(5203550658095)(102540557085)635.7.解：11.提示：∵a，b是一元二次方程210xx的两根，∴1ab，1ab，21aa，21bb，∴332222343423(1)42(1)3362ababbaabbaaba3(1)3626()511aabab.8.解：112.提示：设三角形的三边长为a，b，c（abc），则324aabc，2()24aabc，∴812a，故a的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a，b，c）可以为：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）.共12组，其中，只有一组是直角三角形的三边长，∴所求概率为112.9.解：60°.提示：作EM⊥BC于点M，FN⊥BC于点N，FP⊥EM于点P.∵E、F分别为△ABD、△ACD的外心，∴M、N分别为BD、CD的中点.又EF＝BC，∴PF＝MN＝12BC＝12EF，∴∠PEF＝30°.又EF⊥AD，EM⊥BC，∴∠ADC＝∠PEF＝30°.又∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠B＋12(180°－2∠C)＝90°＋∠B－∠C，∴∠C－∠B＝90°－∠ADC＝60°.10.解：63.提示：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A，B，C，D，E，F.∵A所在行前面需要填两个比A小的数字，∴A不小于3；∵B所在行前面需要填两个比B小的数字，且A及A所在行前面两个数字都比B小，∴B不小于6.同理可知：C不小于9，D不小于12，E不小于15，F不小于18.因此，第三列所填6个数字之和A＋B＋C＋D＋E＋F≥3＋6＋9＋12＋15＋18＝63.如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法（后三列的数字填法不唯一）.123192021456252729789222324101112262830131415313435161718323336ABCDEFGABCMNDFOEP第一试（B）1.解：B.提示：∵3abc，2224abc，∴222222222444(2)(2)(2)222222abbccacabcabcabcab6()9abc.2.解：C.提示：依题意，有22(8)(8)nmbmcmbmc，于是可得82bm.∵抛物线2yxbxc与x轴只有一个公共点，∴240bc，∴221(4)4cbm.因此222(82)(4)16nmbmcmmmm.3.解：C.提示：易知∠AFD＝∠BEC＝90°，△BEC≌△DFA，∴∠DAF＝∠BCE.延长FA，EB交于点G.∵∠GAB＝90°－∠DAF＝∠ADF，∠GBA＝90°－∠CBE＝∠BCE＝∠DAF，∴△BGA∽△AFD，且∠AGB＝90°，∴AG＝8，BG＝6，∴GF＝11，GE＝10，∴22221EFGEGF.4.解：D.提示：设xyt，则xyt，代入题设等式得22()()3ytytyy，整理得223330ytyt.由判别式22(3)12(3)3tt得2323t，故22()12xyt.5.解：A.提示：过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足为C、D.由OA⊥OB得∠AOB＝90°，于是可得△AOC∽△OBD，∴||11|||4|2AOCAAOBDBBSxyOAOCACABOOBSODBDxy.6.解：D.提示：∵2232nn是6的倍数，∴22|(232)nn，∴2|3n，∴2|n.设2nm（m是正整数），则2222232862662(1)nnmmmmm.∵2232nn是6的倍数，∴21m是3的倍数，∴31mk或32mk，其中k是非负整数.∴2(31)62nkk或2(32)64nkk，其中k是非负整数.∴符合条件的所有正整数n的和是(2814869298)(41016828894)1634.7.解：11.提示：∵a，b是一元二次方程210xx的两根，∴1ab，1ab，21aa，21bb，∴332222343423(1)42(1)3362ababbaabbaaba3(1)3626()511aabab.8.解：12.提示：设三角形的三边长为a，b，c（abc），则324aabc，2()24aabc，∴812a，故a的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a，b，c）可以为：（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6），（10，7，7），（11，11，2）