完全平方公式解

1/9完全平方公式讲解第一部分概念导入1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______；（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______；2．学生计算3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+4m+4（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2-2p+1（m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+44．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。（1）（2）之间只差一个符号。推广：计算（a+b）2=________（a-b）2=________【2】得到公式，分析公式（1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．（2）公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和．注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”．（3）公式中字母可代表的含义公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式．（4）几何解释图1－5图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性．【学习方法指导】［例1］计算（1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·（3a）·（2b）＋（2b）2＝9a2＋12ab＋4b22/9注意：（2）中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”．［例2］计算（1）（－m－n）2（2）（－5a－2）（5a＋2）点拨：（1）可直接用完全平方公式．由于－m与－n是同号，所以公式中的2ab取“＋”．（2）中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“－”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算．解：（1）（－m－n）2＝（－m）2＋2·（－m）（－n）＋（－n）2＝m2＋2mn＋n2（2）（－5a－2）（5a＋2）＝－（5a＋2）（5a＋2）＝－（5a＋2）2＝－（25a2＋20a＋4）＝－25a2－20a－4小结：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算．［例3］计算（1）（x－2y）2－（x－y）（x＋y）（2）（m－n）（m2－n2）（m＋n）点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简．（2）可先利用平方差公式将m－n与m＋n相乘，再将所得结果m2－n2与中间括号里的m2－n2相乘，可利用完全平方公式．解：（1）（x－2y）2－（x－y）（x＋y）＝（x2－4xy＋4y2）－（x2－y2）＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2＝－4xy＋5y2（2）（m－n）（m2－n2）（m＋n）＝（m－n）（m＋n）（m2－n2）＝（m2－n2）（m2－n2）＝（m2）2－2·m2·n2＋（n2）2＝m4－2m2n2＋n4说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可．［例4］计算：（x＋2y）2－（x－2y）23/9点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a2－b2＝（a＋b）（a－b），将此题转化为平方差公式进行计算．解法一：（x＋2y）2－（x－2y）2＝（x2＋xy＋42y）－（x2－xy＋42y）＝x2＋xy＋42y－x2＋xy－42y＝2xy解法二：［例5］计算：（a－2b＋1）（a＋2b－1）点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同．先找出两个括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成（a＋b）（a－b）的形式，利用平方差公式进行简化运算．关键：此题最重要一步就是由①到②的过程转化，要保证代数式在形式发生变化的同时，大小不变！随堂练习一、选择题1．下列运算中，正确的是（）A．3a+2b=5abB．（a－1）2=a2－2a+1C．a6÷a3=a2D．（a4）5=a92．下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（）A．（x+y）2=x2+y2B．（x－y）2=x2－y24/9C．（－x+y）2=x2－2xy+y2D．（－x－y）2=x2－2xy+y23．下列各式计算结果为2xy－x2－y2的是（）A．（x－y）2B．（－x－y）2C．－（x+y）2D．－（x－y）24．若等式（x－4）2=x2－8x+m2成立，则m的值是（）A．16B．4C．－4D．4或－4二、填空题5．（－x－2y）2=_____．6．若（3x+4y）2=（3x－4y）2+B，则B=_____．7．若a－b=3，ab=2，则a2+b2=______．8．（_____－13y）2=94x2－xy+______；（_____）2=916a2－6ab+_____．三、解答题9．利用完全平方公式计算：（1）20082；（2）782．10．先化简，再求值：（2x－1）（x+2）－（x－2）2－（x+2）2，其中x=－13．11.利用公式计算：196212.某正方形边长acm，若把这个正方形的边长减小3cm，则面积减少了多少？13.已知x+y=1，求12x2+xy+12y2的值．14.已知a+1a=5，分别求a2+21a，（a－1a）2的值15.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加3米，则它的面积就增加39平方米，求这个正方形花坛的边长．5/916.小明在计算2222009200820092007200920092时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不需要用计算器，而且很快说出了答案．你知道他是怎么做的吗？17．已知：a＋b＝－5，ab＝－6，求a2＋b2．18.利用公式计算：992－119.计算（1）)1)(1(abab；（2）)32)(32(xx；（3）1022；（4）992.（5）)1)(1(baba；（6）2)2(pnm.20.一个正方形的边长增加3cm,它的面积就增加392cm,这个正方形的边长是多少?21.当2)2()23)(23(1,1babababa时，求的值22.求证：当n为整数时，两个连续奇数的平方差22)12()12(nn是8的倍数6/923.观察下列等式：10122，31222，52322，73422，……请用含自然数n的等式表示这种规律为：________________.24.已知2294yMxyx是一个完全平方式,求M的值.25.2005年12月1日是星期四，请问：再过20052天的后一天是星期几?答案一、1．B2．C点拨：（x+y）2=x2+2xy+y2，所以A不正确；（x－y2=x2－2xy+y2，所以B不正确；（－x+y）2=（－x）2+2（－x）·y+y2=x2－2xy+y2，所以C正确；（－x－y）2=（x+y）2=x2+2xy+y2，所以D也不正确，故选C．3．D4．D点拨：因为（x－4）2=2－8x+16，所以若（x－4）2=x2－8x+m2成立，则m2=16，从而得m=±4，故选D．二、5．x2+4xy+4y2点拨：（－x－2y）2=[－（x+2y）]2=（x+2y）2=x2+4xy+4y2．6．48xy点拨：B=（3x+4y）2－（3x－4y）2=9x2+24xy+16y2－（9x2－24xy+16y2）=9x2+24xy+16y2－92+24xy－16y2=48xy．7．13点拨：因为a－b=3，ab=2，所以a2+b2=（a－b）2+2ab=32+2×2=9+4=13．8．32x；19y2；34a－4b；16b2三、9．解：（1）20082=（2000+8）2=20002+2×2000×8+82=4000000+32000+64=4032064；（2）782=（80－2）2=802－2×80×2+22=6400－320+4=6084．10．解：（2x－1）（x+2）－（x－2）2－（x+2）2=2x2+4x－x－2－（x2－4x+4）－（x2+4x+4）=2x2+3x－2－x2+4x－4－x2－4x－4=3x－10．7/9当x=－13时，原式=3×（－13）－10=－1－10=－11．11.思路：196接近整数200，故196＝200－4，则此题可化为（200－4）2，利用完全平方公式计算．解：1962①＝（200－4）2②＝2002－2×200×4＋42＝40000－1600＋16＝38416说明：Ⅰ．可转化为完全平方的形式的数必须较接近一个整数才较易进行计算．12.思路：先分别表示出新旧正方形的边长，再根据“正方形面积＝边长×边长”，表示出两个正方形的面积，用“大－小”即可得出所求．计算的关键在完全平方式的展开．解：原正方形面积：a2现正方形面积：（a－3）2面积减少了a2－（a－3）2＝a2－（a2－6a＋9）＝a2－a2＋6a－9＝（6a－9）（cm2）答：面积减少了（6a－9）cm2．13.解：因为x+y=1，所以（x+y）2=1，即x2+2xy+y2=1．所以12x2+xy+12y2=12（x2+2xy+y2）=12×1=12．点拨：通过平方将已知条件转化为完全平方公式，从而巧妙求值．14.因为a+1a=5，所以a2+21a=（a+1a）2－2·a·1a=52－2=23，所以（a－1a）2=a2+21a－2·a·1a=23－2=21．点拨：注意公式的一些变形形式，例如：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab，（a+b）2=（a－b）2+4ab，（a－b）2=（a+b）2－4ab等等．15.解：设这个正方形花坛的边长为x米，依题意列方程得，（x+3）2－x2=39，即x2+6x+9－x2=39，6x=30，x=5．答：这个正方形花坛的边长为5米．点拨：适当引进未知数，根据题中的相等关系得到方程，解方程即可．16．解：知道，做法如下：2222009200820092007200920092=22220092008(200920081)(200920081)2=222200920082009200822009200812009200822009200812=2220092008220092008=12．8/9点拨：由200920072=（20092008－1）2，200920092=（20092008+1）2，运用完全平方公式化简即可．17.点拨：同时存在a＋b，ab，a2＋b2的公式为完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，将题目中所给条件分别看作整体，代入公式即可．注意：Ⅰ．不要分别求出a和b，运算繁琐．Ⅱ．若已知a＋b（或a－b），ab，a2＋b2中的二者，都可利用完全平方公式求出第三者．解：a2＋b2＝（a＋b）2－2ab当a＋b＝－5，ab＝－6时原式＝（－5）2－2×（－6）＝25＋12＝37．18.点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案．19.【点拨】（1）符合平方差公式的特征，只要将ab看成是a，1看成是b来计算.（2）利用加法交换律将原式变形为)23)(23(xx,然后运用平方差公式计算.（3）可将1022