基本初等函数图像及性质大全

1一、一次函数与二次函数（一）一次函数一次函数0kkxbkk，b符号0k0k0b0b0b0b0b0b图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小（二）二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)fxaxbxca②顶点式：2()()(0)fxaxhka③两根式：12()()()(0)fxaxxxxa（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()fx更方便．（3）二次函数图象的性质20fxaxbxca0a0a图像定义域,对称轴2bxa顶点坐标24,24bacbaa值域24,4acba24,4acbaOxyyxOOxyyxOOxyyxO2bxa2bxa2单调区间,2ba递减,2ba递增,2ba递增,2ba递减①.二次函数2()(0)fxaxbxca的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa顶点坐标是24(,)24bacbaa②当0a时，抛物线开口向上，函数在(,]2ba上递减，在[,)2ba上递增，当2bxa时，2min4()4acbfxa；当0a时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba上递增，在[,)2ba上递减，当2bxa时，2max4()4acbfxa．二、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．（2）幂函数的图象过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．3三、指数函数（1）根式的概念：如果,,,1nxaaRxRn，且nN，那么x叫做a的n次方根．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmnaaamnN且1)n．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,mmmnnnaamnNaa且1)n．0的负分数指数幂没有意义．（3）运算性质①(0,,)rsrsaaaarsR②()(0,,)rsrsaaarsR③()(0,0,)rrrabababrR（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域(0,)过定点图象过定点(0,1)，即当0x时，1y．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax1(0)1(0)1(0)xxxaxaxaxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．01xayxy(0,1)O1y01xayxy(0,1)O1y4四、对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaNaaN．（2）几个重要的对数恒等式log10a，log1aa，logbaab．（3）常用对数与自然对数常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0aaMN，那么①加法：logloglog()aaaMNMN②减法：logloglogaaaMMNN③数乘：loglog()naanMMnR④logaNaN⑤loglog(0,)bnaanMMbnRb⑥换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且（5）对数函数函数名称对数函数定义函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y．奇偶性非奇非偶单调性在定义域上是增函数在定义域上是减函数01xyO(1,0)1xlogayx01xyO(1,0)1xlogayx5函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．五、反函数（1）反函数的概念设函数()yfx的定义域为A，值域为C，从式子()yfx中解出x，得式子()xy．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yfx的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成1()yfx．（2）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()yfx中反解出1()xfy；③将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域．（3）反函数的性质①原函数()yfx与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称．②函数()yfx的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域．③若(,)Pab在原函数()yfx的图象上，则'(,)Pba在反函数1()yfx的图象上．④一般地，函数()yfx要有反函数则它必须为单调函数．六、三角函数的图像和性质（一）正弦与余函数的图像与性质函数xysinxycos图像定域义RR值域1,11,16最值2,122,12xkykZxkykZ最大最小时，时，2,12,1xkykZxkykZ最大最小时，时，单调性[2,2]223[2,2]22Zkkkkk在每个上递增在每个上递减[2,2][2,2]Zkkkkk在每个上递增在每个上递减奇偶性奇函数偶函数周期性是周期函数，2为最小正周期是周期函数，2为最小正周期对称性对称中心(,0)k，:,()2xkkZ对称轴对称中心(,0)2k，:,()xkkZ对称轴2.正切与余切函数的图像与性质函数xytanxycot图像定域义{|,}2xxRxkkZ且{|,}xxRxkkZ且值域RR单调性(,)22Zkkk在每个上递增(,)Zkkk在每个上递减奇偶性奇函数奇函数周期性是周期函数，为最小正周期是周期函数，为最小正周期对称性对称中心(,0)2k对称中心(,0)2k7七、反三角函数的图像与性质1.反正弦与反余函数的图像与性质函数反正弦函数arcsinyx是sin,22yxx，的反函数反余弦函数arccosyx是cos0,yxx，的反函数图像定域义1,11,1值域,220,单调性[1,1]在上递增[1,1]在上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心(0,0)对称中心(0,)22.反正切与反余切函数的图像与性质函数反正切函数arctanyx是tan(,)22yxx，的反函数反余切函数arccotyx是cot0,yxx，的反函数图像定域义(,,)(,,)值域,220,单调性(,,)在上递增(,,)在上递减奇偶性奇函数非奇非偶周期性无无对称性对称中心（0，0）对称中心（0，π/2）