江苏省2018年专转本高等数学试卷及解答

绝密★启用前江苏省2018年普通高校专转本选拔考试高等数学试题卷注意事项：1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟．2．必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效，作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试题卷和答题卡上的指定位置．3．考试结束时，须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1．当0x→时，下列无穷小中与2()sinfxxx=同阶的是（B）．A．2cos1x−B．311x+−C．31x−D．23(1)1x+−解221cos1~2xx−−，33111~2xx+−，31~ln3xx−，232(1)1~3xx+−，答案为：B2．设函数2()xafxxxb−=++，若1x=为其可去间断点，则常数a，b的值分别为（A）．A．12−，B．12−，C．12−−，D．12，解1x=为其可去间断点，应有110b++=，1lim()10xxaa→−=−=，答案为：A3．设1()()1xfxxϕ−=+，其中()xϕ为可导函数，且(1)3ϕ′=，则(0)f′等于（A）．A．6−B．6C．3−D．3解221(1)(1)21()()()1(1)(1)1xxxxfxxxxxϕϕ−−+−−−′′′==−++++，则(0)2(1)6fϕ′′=−=−，答案为：A4．设2()exFx=是函数()fx的一个原函数，则()dxfxx′∫等于(B)．A．21e(1)2xxC−+B．2e(21)xxC−+C．21e(1)2xxC++D．2e(21)xxC++解222()dd()()()d()e2eexxxxfxxxfxxfxfxxxfxCC′==−=−+=−+∫∫∫，答案为：B5．下列反常积分中发散的是（D）．A．0edxx−∞∫B．311dxx+∞∫C．21d1xx+∞−∞+∫D．01d1xx+∞+∫解00ed1xxxe−∞−∞==∫，3211111d22xxx+∞+∞=−=∫，21d1xxπ+∞−∞=+∫，答案：D6．下列级数中绝对收敛的是（C）．A．1(1)nnn∞=−∑B．112(1)nnn∞=+−∑C．21sinnnn∞=∑D．31(3)nnn∞=−∑解22sin1nnn≤，21sinnnn∞=∑收敛，且绝对收敛，答案：C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．设102lim(1)limsinxxxaxxx→→∞+=，则常数a=▲．ln2解由102lim(1)limsinxxxaxxx→→∞+=，得e2a=，所以ln2a=8．设xyx=（0x），则y′=▲．ln22xxxx+⋅解lnlnyxx=，1ln12xyyxx′=+ln22xxxx+=⋅9．设(,)zzxy=是由方程21zxyz+=所确定的函数，则zx∂=∂▲．2yzzxy−+解20zzzyzxyxx∂∂++=∂∂，2zyzxzxy∂=−∂+10．曲线43234612yxxxx=+−−的凸区间为▲．1(1,)3−解3212121212yxxx′=+−−，2362412yxx′′=+−，令0y′′，得113x−11．已知空间三点(1,1,1)M，(1,1,0)A，(2,1,2)B，则AMB∠=▲．34π解(0,0,1)MA=−，(1,0,1)MB=，则11cos||||122MAMBAMCMAMA⋅−∠===−⋅⋅，所以34AMBπ∠=12．幂级数1(4)5nnnxn∞=+⋅∑的收敛域为▲．[9,1)−解1111(1)5limlim15155nnnnnnnn+→∞→∞+⋅==+⋅，则1(4)5nnnxn∞=+⋅∑收敛半径5R=，则有|4|5x+，得91x−；又当9x=−时，幂级数1(4)5nnnxn∞=+=⋅∑1(1)nnn∞=−∑收敛，又当1x=时，幂级数1(4)5nnnxn∞=+=⋅∑11nn∞=∑发散，故收敛域为[9,1)−三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13．求极限22011lim[]ln(1)xxx→−+．解22222222400011ln(1)ln(1)lim[]limlimln(1)ln(1)xxxxxxxxxxxx→→→+−+−−==++223220022211limlim44(1)2xxxxxxxxx→→−−+===−+14．设()yyx=是由参数方程323101xxttytt−+−==++所确定的函数，求0ddtyx==．解由3210xxtt−+−=得22dd3210ddxxxtxttt−−+=，22d21dt3xxtxt−=−，而2d31dytt=+，所以，222dd(31)(3)ddd21dyytxttxxxtt+−==−，又当0t=时，1x=，1y=，因而0d3dtyx==−15．求不定积分1d1xxx+∫．解1d1xxx+∫211xtxt+==−令22111dlnln1111txtCCttx−+−=+=+−+++∫16．计算定积分21(21)lndxxx+∫．解22222221111(21)lndlnd()()ln()dlnxxxxxxxxxxxx+=+=+−+∫∫∫2222211115()ln(1)d5ln2()6ln222xxxxxxx=+−+=−+=−∫17．求通过点(1,2,3)M及直线131415xtytzt=+=+=+的平面方程．解设所求平面的法向量为n，已知直线的方向向量为s，则(3,4,5)s=，由于直线经过点(1,1,1)N，则依题意有nMN⊥，(0,1,2)MN=−−，又ns⊥，因而nMNs=×0123633(2)345ijkijkijk=−−=−+=−+，则所求平面方程为(1)2(1)(1)0xyz−−−+−=，即20xyz−+=18．求微分方程323(2)d2d0yxyxxy−+=通解．解原方程可化为3d1()d2yyyxxx=−，令yux=，则yux=，于是ddddyuuxxx=+，则有3d1d2uuxuux+=−即有321dduxux−=，两边积分得21lnxcu=+，即2()lnxxcy=+，原方程通解为22(ln)xyxc=+，其中c为任意常数19．设()xzxfyy=，，其中函数f具有一阶连续偏导数，求全微分dz．解由于2zxffxy∂′=+∂，122()zxxffyy∂′′=−∂存在且连续，所以2122ddd()d()dzzxxzxyffxxffyxyyy∂∂′′′=+=++−∂∂20．计算二重积分ddDxyxy∫∫，其中{}22(,)|(1)1,0Dxyxyyx=−+≤≤≤．解2cos3544000dddsincosd4cossindDxyxyrrππθθθθθθθ==∫∫∫∫∫456400274cosdcoscos312ππθθθ=−=−=∫四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．证明：当0x时，2lnexx≤．证明设2()lnefxxx=−，则11e()eexfxxxx−′=−=，211()2efxxxx′′=−+，令()0fx′=得唯一驻点2ex=，又241(e)0ef′′=−，因而函数2()lnefxxx=−在2ex=处取得极大值，即为最大值2(e)0f=因而，对一切0x，都有2()(e)0fxf≤=，即有2lnexx≤xyO1222．设函数0()d0()00xfttxFxxx≠==∫，其中()fx在(,)−∞+∞内连续，且0()lim1xfxx→=，证明：()Fx′在点0x=处连续．证明当0x≠时，02()()d()xxfxfttFxx−′=∫，当0x=时，0020000()d()d()(0)1()1(0)limlimlimlim22xxxxxxfttfttFxFfxxFxxxx→→→→−′=====∫∫，所以02()()d0()102xxfxfttxxFxx−≠′==∫，又0022000()()d()d()lim()limlim[]xxxxxxfxfttfttfxFxxxx→→→−′==−∫∫0200()d()limlimxxxfttfxxx→→=−∫000()()1()1limlimlim(0)222xxxfxfxfxFxxx→→→′=−===因而，()Fx′在点0x=处连续五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）23．设平面图形D是由曲线弧cosyx=（42xππ≤≤）与sinyx=（4xππ≤≤）及x轴所围成，试求：（1）平面图形D的面积；（2）平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积．解（1）24424411sindcosdcossin(1)(1)222Axxxxxxππππππππ=−=−−=−−−−−=∫∫，（2）22224444sindcosd(1cos2)d(1cos2)d22xVxxxxxxxxππππππππππππ=−=−−+∫∫∫∫224411311(sin2)(sin2)()()222224224242xxxxππππππππππππ=−−+=+−−=+24．已知函数()fx满足方程()3()2()0fxfxfx′′′−+=，且在0x=处取得极值1，试求：4π2ππxyO（1）函数()fx的解析式；（2）曲线()()fxyfx′=的渐近线方程．解（1）特征方程为2320rr−+=，解得特征根为11r=，22r=，所以212()eexxfxcc=+，212()e2exxfxcc′=+，依题意有(0)1f=，(0)0f′=，得121cc+=，1220cc+=，解得12c=，21c=−，所以2()2eexxfx=−（2）由22()2e2e()2eexxxxfxyfx′−==−，得222e2e2e2limlimlim22ee2e1xxxxxxxxxy−−→+∞→+∞→+∞−−===−−，222e2e22elimlimlim12ee2exxxxxxxxxy→−∞→−∞→−∞−−===−−，因而，曲线有两条水平渐近线2y=，1y=；又令22ee0xx−=得ln2x=，而22ln2ln22e2elimlim2eexxxxxxy→→−==∞−，因而曲线又一条垂直渐近线ln2x=