二次根式及其运算课件

二次根式及其运算（复习课）1．二次根式的概念：式子叫做二次根式．2．二次根式的性质：(1)()2＝；(2)＝|a|＝(3)＝．(4)＝．要点梳理(a≥0)aaa(a≥0)a2a(a≥0)0(a＝0)－a(a0)ab·(a≥0，b≥0)abab(a≥0，b0)ab3．二次根式的运算：(1)二次根式加减法的实质是合并同类根式；(2)二次根式的乘法：·＝；(3)二次根式的除法：＝．4．最简二次根式：运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式．最简二次根式，满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式．ab(a≥0，b≥0)ababab(a≥0，b0)1．正确理解二次根式的意义二次根式定义中的“a≥0”是定义的一个重要组成部分，不可以省略，因为负数没有平方根，所以当a0时，没有意义．在具体问题中，一旦出现了二次根式，就意味着a≥0，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数a既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如：、(ab≥0)、(x≥－3)都是二次根式．[难点正本疑点清源]aa3abx＋32．注意正确的化简及二次根式的混合运算实数的混合运算与有理数混合运算相似，而二次根式的混合运算则与整式、分式的混合运算有很多相似之处，如：运算顺序都是先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；有理数、整式、分式运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)和所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式中的运算仍然适用．3．与二次根式相关的求值问题条件二次根式的求值，问题往往与整式、分式综合起来，因此技巧性较强，解题不要急于动手，宜先统筹好解题的方法与过程．通常是将已知式与求值式化简后，再按照求代数式的方法进行，以简便、准确为目的．1．(－2)2的算术平方根是()A.2B．±2C．－2D.解析：＝＝2.2．下列运算正确的是()A．－(－x＋1)＝x＋1B.－＝C.＝2－D．(a－b)2＝a2－b2解析：因为2，－20，所以＝－(－2)＝－＋2＝2－.基础自测2A－22－23－23954C333－23333．下列运算正确的是()A.＝±5B．4－＝1C.÷＝9D.·＝6解析：×＝＝＝6.4．下列各式中，正确的是()A.＝－3B．－＝－3C.＝±3D.＝±3解析：因为＝3，所以－＝－3.253271822432D243224×32－3232±3232B3232365．实数a在数轴上的位置如图所示，则＋化简后为()A.7B．－7C．2a－15D．无法确定解析：可知5a10，所以a－40，a－110，原式＝＋＝(a－4)＋(11－a)＝7.a－42a－112Aa－4a－11题型一二次根式概念与性质【例1】(1)等式＝成立，则实数k的范围是()A．k3或kB．0k3C．k≥D．k3解析：要使等式成立，必须有∴k3.题型分类深度剖析2k－1k－32k－1k－31212D2k－1≥0，k－30，k≥12，k3.(2)已知a、b、c是△ABC的三边长，试化简：＋＋＋.解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c.a＋b＋c2a－b－c2b－c－a2c－a－b2探究提高1.对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负.2.注意二次根式性质()2＝a(a≥0)，＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．aa2知能迁移(1)(－)2的平方根是________，9的算术平方根是________，________是－64的立方根．解析：(－)2＝2,2的平方根是±；＝3；＝－4.2±23－42293－64(2)如果＝1－2a，则()A．a＜B.a≤C．a＞D.a≥解析：由1－2a≥0，得a≤.2a－1212121212B12题型二二次根式的运算【例2】(1)下列运算正确的是()A．2＋4＝6B.＝4C.÷＝3D.＝－3解析：÷＝＝＝3，选C.(2)计算：－＋－2.解：原式＝2－＋－＝.32582273－32C27327÷39243223166126136136326(3)计算：－×解：原式＝－××＝－××15×＝－6.45451215451245×15451233探究提高1.二次根式化简，依据＝·(a≥0，b≥0)，＝(a≥0，b＞0)，前者将被开方数变形为有m2(m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变形为m2(m为正整数)的形式，即可将其移到根号外.2.二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式．3．二次根式乘除结果要化简为最简二次根式．abababab知能迁移2(1)下面计算正确的是()A．3＋＝3B.÷＝3C.·＝D.＝－2解析：÷＝＝3.33273235－22B2739(2)如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为()A．－2－B．－1－C．－2＋D．1＋解析：∵A、B两点表示的数分别是－1和，∴OA＝|－1|＝1，OB＝||＝，AB＝1＋＝AC，∴OC＝AC＋OA＝(1＋)＋1＝2＋.∴点C所表示的数为－(2＋)＝－2－，选A.33333A33333333题型三二次根式混合运算【例3】计算：(1)(3－1)(1＋3)－(2－1)2；(2)(－3)2012·(＋3)2012.解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)原式＝(3)2－1－[(2)2－4＋1]＝18－1－8＋4－1＝8＋4(2)原式＝[(－3)(＋3)]2012＝[()2－32]2012＝(10－9)2012＝1222101022222101010探究提高1.二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，计算时要认真仔细.2.可以适当改变运算顺序，使运算简便．知能迁移3(1)－－()0解：原式＝3－3－1＝－162181222(2)(－3)2－＋()－1；解：原式＝9－2＋2＝9(3)已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．解：∵34，∴的整数部分a＝3，小数部分b＝－3.∴a2－b2＝32－(－3)2＝9－(10－6＋9)＝－10＋6.41210101010101010(4)已知a＝3＋2，b＝3－2，求a2b－ab2的值；解：∵a－b＝(3＋2)－(3－2)＝4，ab＝(3＋2)(3－2)＝－11，∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4＝－44.555555555思想方法感悟提高方法技巧1.二次根式相加减，必须先化成最简二次根式，才能有效地合并同类二次根式；二次根式乘除，不必化简为最简二次根式，因为有时在乘除中可直接约分为最简二次根式或有理式，即使没有约分的情况，一般来说，只需把积(商)进行一次化简(因为结果须是最简二次根式)，当然较先化最简二次根式一次，又把积(商)再化简一次较为简单．2.混合运算时，要根据实际情况，灵活确定运算顺序，可适当改变运算的顺序，使运算简便．失误与防范1.求时，一定要注意确定a的大小，应注意利用等式＝|a|，当问题中已知条件不能直接判定a的大小时就要分类讨论．2.化简二次根式的题目，形式多样，应先化简后求值，应力求把根号去掉．在求算术平方根时，要先用含绝对值的式子表示含字母的式子，保证求原式的算术平方根有意义，然后再根据题目条件，判断求绝对值的式子的符号．3．一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响求解过程的附加条件．要特别注意，问题中的条件没有主次之分，都必须认真对待．a2a2