初三数学-有关圆的经典例题

Xupeisen110初三数学1初三数学有关圆的经典例题1.在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132OABACBAC分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论，当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示，过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E，∵，，∴，ABACADAE323222∵，∴∠，OAOADADOA132coscos∠OAEAEOA22∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示，同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°，∴∠BAC=15°点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。例2.如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D，如果点既是的中点，又是边的中点，DABAC（1）求证：△ABC是直角三角形；()22求的值ADBC分析：()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，DABODABF则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；Xupeisen110初三数学2（2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF∽△，可得·，而，，故可求DAEADDFDEDFBCDERADBC22122解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E∵为的中点，∴⊥，DABABDEAFFB又∵AD=DC∴∥，DFBCDFBC12∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。（2）解：连结AE∵DE是⊙O的直径∴∠DAE=90°而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA∴，即·ADDEDFADADDEDF2∵，DERDFBC212∴·，故ADBCRADBCR22例3.如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（）AABCDBABCD..22CABCDDABCD..22与的大小关系不确定分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：ABCD2()112把的一半作出来，然后比较与的大小。ABABCD()222把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。CDCDAB解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，Xupeisen110初三数学3则AFFBAB12AEEBAB12∵，∴ABCDAECDAB212∵AFFBAFFB，∴在△AFB中，有AF+FBAB∴，∴，∴，∴2222AFABAFABAFCDAFCD∴ABCD2∴选A。解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE则DECDCE12在△CDE中，有CD+DECE∴2CDCE∵AB=2CD，∴ABCE∴，∴ABCEABCD2∴选A。例4.如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD2OABBCAD141求CD的长。分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。解：延长AB、DC交于E点，连结BD∵ABBCAD141∴，，∴∠∠ABBCADADBEDB4Xupeisen110初三数学4∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD∴△∽△，∴EBCEDABCADCEAE∴·CEBCAEADBCABBEAD()11412∴CDDECE41272例5.如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥ABACODACDEAB于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？DACADDEDF分析：由题意容易想到作辅助线OC，（1）要使PC与⊙O相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就可以了。()22要使·，即使，也就是使△∽△ADDEDFADDEDFADDAFDEA解：（1）当PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）时，PC与⊙O相切，下面对满足条件PC=PF进行证明，连结OC，则∠OCA=∠FAH，∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH，∵DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。Xupeisen110初三数学5()22当点是劣弧的中点时，·，理由如下：DACADDEDF连结，∵，∴∠∠AEADCDDAFDEA又∵∠∠，ADFEDA∴△∽△，∴DAFDEAADDEDFAD即AD2=DE·DF点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，可以反过来，把PC与⊙O相切作为条件，探索△PCF的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD2=DE·DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。例6.如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD()ABBCBCO12D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC∴AB、DC切⊙O于点B和点C，∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，又∵AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x，DE=DC+EB=4x，在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，∴ADx23则∠tanADEAEADxx22333点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。例7.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且点O2在⊙O1上，（1）如下图，AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证CO2⊥AD；Xupeisen110初三数学6（2）如下图，如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。分析：（1）要证CO2⊥AD，只需证∠CO2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到AD是⊙O2的直径，连结公共弦AB，则∠A=∠C，∠DBA=90°，问题就可以得证。（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC，直观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在⊙O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得∠1=∠2，且有△AO2C≌△DO2C，故CA=CD，可得结论CO2⊥AD。解：（1）证明，连结AB，AD为直径，则∠ABD=90°∴∠D+∠BAD=90°又∵∠BAD=∠C，∴∠D+∠C=90°∴∠CO2D=90°，∴CO2⊥AD（2）CO2所在直线与AD垂直，证明：连结O2A、O2B、O2D、AC在△AO2C与△DO2C中∵，∴，∴∠∠OAOBAOBO222212∵∠O2BD=∠O2AC，又∠O2BD=∠O2DB，∴∠O2AC=∠O2DB∵O2C=O2C，∴△AO2C≌△DO2C，∴CA=CD，∴△CAD为等腰三角形，∵CO2为顶角平分线，∴CO2⊥AD。例8.如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，以为半径的圆相切于点、、，求、、围成的图形面aOOOOOOOOO2123122331积S。（图中阴影部分）Xupeisen110初三数学7分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。解：SaSaaABC△扇，×·3433628222()∴阴Saaa348238222此题可变式为如下图所示，⊙、⊙、⊙两两不相交，且它们的半径都ABC为，求图中三个扇形阴影部分的面积之和。a2()分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为∠A+∠B+∠C=180°，因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为，82a原题可在上一题基础上进一步变形：⊙A1、⊙A2、⊙A3…⊙An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3…An，求n个扇形的面积之和。解题思路同上。解：()n22一、填空题（10×4=40分）1.已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为___________。2.圆内接四边形ABCD中，如果∠A：∠B：∠C=2：3：4，那么∠D=___________度。3.若⊙O的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，则点P到⊙O的切线长为___________。Xupeisen110初三数学84.如图所示CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于M，则可得出AM=MB，ACBC等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：___________。5.⊙O1与⊙O2的半径分别是3和4，圆心距为43，那么这两圆的公切线的条数是___________。6.圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积是___________。7.已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是___________。8.若PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC交⊙O于B，若BC=20，PA=103，则PC的长为___________。9．如图5，△ABC内接于⊙O，点P是CA上任意一点（不与CA、重合），POCABC则,55的取值范围是．10．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为.（第9题图）°°OXupeisen110初三数学911．已知O的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与O的位置关系是．12．如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，46BOC，则AED的度数为．13．如图，RtABC△中90ACB，4AC，3BC．将ABC△绕AC所在的直线f旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积．（取3.14，结果保留两个有效数字）14．如图8，两个同心圆的半径分别为2和1，oAOB120，则阴影部分的面积为15．如图，AB是O的直径，AM为弦，30MAB，过M点的O的切线交AB延长线于点N．若12cmON，则O的半径为cm．16．如图，RtABC△是由RtABC△绕B点顺时针旋转而得，且点ABC，，在同一条直线上，在RtABC△中，若90C∠，2BC，4AB，则斜边AB旋转到AB所扫过的扇形面积为．17．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PAPB，，切点分别是AB，，若8cmPA，C是AB上的一个动点（点C与AB，两点不重合），过点C作圆O的切线，分别交PAPB，于点DE，，则PED△的周长是．第14题图fABC图8AOB120oAOBNMCBACA（15题图）OADPEBC（第17题图）Xupeisen110初三数学1018、在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是.19．如图8，在RtABC△中，903CAC，．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BABC，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为．20．如图9，点AB，是O上两点，10AB，点P是O上的动点（P与AB，不重合）连结APPB，，过点O分别作OEAP于点E，OFPB于点F，则EF．三、解答题：1.已知：如图所示，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过B点作⊙O1的切线交⊙O